hsg lớp 10 tỉnh hải dương 2018-2019

Câu I (2,0 điểm)

1. Cho hàm số $y={{x}^{2}}-4\text{x}+3$ có đồ thị $\left( P \right)$. Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $\left( {{d}_{m}} \right):y=x+m$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $$\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}=2$$
2. Cho hàm số $y=(m-1){{x}^{2}}-2mx+m+2$ ($m$là tham số). Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$.

Lời giải
1) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
${{x}^{2}}-4\text{x}+3=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5\text{x}+3-m=0$ $\left( * \right)$.
Xét theo yêu cầu bài toán thì phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt và khác $0$
$$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\Delta=4 m+13>0} \\ {3-m \neq 0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{m>-\frac{13}{4}} \\ {m \neq 3}\end{array}\right.\right.$$
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( * \right)$. Ta có:
$\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}=2\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=0$ $\left( ** \right)$.
Theo định lý Vi-ét: $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3-m \\
\end{align} \right.$ . Thế vào $\left( ** \right)$ ta được:$2m-1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn).
Vậy $m=\dfrac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2) Với $m=1\Rightarrow y=-2x+3$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$. Do đó $m=1$ thỏa mãn.
Với $m\ne 1$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}
& a > 0 \\
& \left( -\infty ;2 \right)\subset \left( -\infty ;-\dfrac{b}{2\text{a}} \right) \\
\end{align} \right.$
$$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{m-1>0} \\ {\frac{m}{m-1} \geq 2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{m>1} \\ {\frac{2-m}{m-1} \geq 0}\end{array}\right.\right.\Leftrightarrow 1 < m\le 2.$$
Vậy $1\le m\le 2$ là giá trị cần tìm.