Lời giải
b) Xét các trường hợp sau đây+ $x=1$. Khi đó phương trình ban đầu có dạng $2+{{5}^{y}}={{z}^{2}}\Rightarrow 5|\left( {{z}^{2}}-2 \right)$. Mặt khác với mọi số nguyên $z$ tùy ý thì ta có ${{z}^{2}}\equiv 0,1,4\,\left( mod\,5 \right)$ nên $\left( {{z}^{2}}-2 \right)\equiv -2,-1,2\,\left( mod\,5 \right)$(mâu thuẫn)
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương $\left( x,y,z \right)$ thỏa $x=1$.
+ $x=2$. Khi đó ta viết lại phương trình thành ${{5}^{y}}=\left( z-2 \right)\left( z+2 \right)\,$với $z > 2$. Nếu $z-2 > 1\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& 5|\left( z-2 \right) \\
& 5|\left( z+2 \right) \\
\end{align} \right.\Rightarrow 5|4$ (vô lý) vậy $z-2=1\Rightarrow z=3\Rightarrow y=1$
Vậy một bộ nghiệm nguyên dương của phương trình trên là $\left( x,y,z \right)=\left( 2,1,3 \right)$
+ $x\ge 3$. Khi đó ta có $8|{{2}^{x}}$. Xét theo modulo 8 ta có ${{z}^{2}}\equiv 0,1,4\,\left( mod\,8 \right)\Rightarrow {{5}^{y}}={{z}^{2}}-{{2}^{x}}\equiv 0,1,4\,\left( mod\,8 \right)$
Dễ thấy với $y=2k+1$ thì ${{5}^{y}}={{5.25}^{k}}\equiv 5\,\left( mod\,8 \right)$nên $y=2k\,\left( k\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \right)$
Phương trình đã cho viết lại thành ${{2}^{x}}+{{25}^{k}}={{z}^{2}}\Rightarrow {{2}^{x}}=\left( z-{{5}^{k}} \right)\left( z+{{5}^{k}} \right)$.
Khi đó $\left\{ \begin{align}
& z-{{5}^{k}}={{2}^{u}} \\
& z+{{5}^{k}}={{2}^{v}} \\
\end{align} \right.\Rightarrow {{2.5}^{k}}={{2}^{u}}\left( {{2}^{v-u}}-1 \right)$. Đồng nhất 2 vế ta suy ra $u=1\Rightarrow {{5}^{k}}={{2}^{v-1}}-1$
Từ đó ta suy ra $5|\left( {{2}^{v-1}}-1 \right)$ nên $v=1\,(mod\ 4)$ hay $v=4t+1$ thay vào đẳng thức ta được
${{5}^{k}}={{16}^{t}}-1$. Để ý rằng với mọi $t\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ thì $3|\left( {{16}^{t}}-1 \right)\Rightarrow 3|{{5}^{k}}$(vô lý)
Vậy với mọi $x\ge 3,x\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$thì phương trình không có nghiệm nguyên dương $\left( x,y,z \right)$ thỏa mãn.
Kết luận: Nghiệm nguyên dương duy nhất của phương trình ${{2}^{x}}+{{5}^{y}}={{z}^{2}}$ là $\left( x,y,z \right)=\left( 2,1,3 \right)$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét