@Câu 20. [id1318] (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày 2 năm 2018-2019) (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày 2 năm 2018-2019)Cho $S$ là tập hợp các bộ $\left( {{a}_{1}}\,,\,{{a}_{2}}\,,\,...\,,\,{{a}_{164}} \right)$ là hoán vị của $164$ số nguyên dương đầu tiên. a) Có bao nhiêu hoán vị $\left( {{a}_{1}}\,,\,{{a}_{2}}\,,\,...\,,\,{{a}_{164}} \right)$ thuộc $S$ sao cho với mọi $i\in \left\{ 1\,,\,2\,,\,...\,,\,164 \right\}$ ta luôn có ${{a}_{i}}\ne i$ và ${{a}_{i}}\equiv i\left( \bmod 41 \right)$? b) Tồn tại hay không hoán vị $({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{164}})$ thuộc $S$ sao cho với mọi $i\in \{1,2,\ldots ,164\}$đều tồn tại các số nguyên ${{b}_{i}}\in \{0,1,\ldots ,40\}$ thỏa mãn ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{i}}\equiv b_{i}^{2}\text{ }(\bmod 41)$?

@Câu 20. [id1318] (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày 2 năm 2018-2019) (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày 2 năm 2018-2019)Cho $S$ là tập hợp các bộ $\left( {{a}_{1}}\,,\,{{a}_{2}}\,,\,...\,,\,{{a}_{164}} \right)$ là hoán vị của $164$ số nguyên dương đầu tiên. a) Có bao nhiêu hoán vị $\left( {{a}_{1}}\,,\,{{a}_{2}}\,,\,...\,,\,{{a}_{164}} \right)$ thuộc $S$ sao cho với mọi $i\in \left\{ 1\,,\,2\,,\,...\,,\,164 \right\}$ ta luôn có ${{a}_{i}}\ne i$ và ${{a}_{i}}\equiv i\left( \bmod 41 \right)$? b) Tồn tại hay không hoán vị $({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{164}})$ thuộc $S$ sao cho với mọi $i\in \{1,2,\ldots ,164\}$đều tồn tại các số nguyên ${{b}_{i}}\in \{0,1,\ldots ,40\}$ thỏa mãn ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{i}}\equiv b_{i}^{2}\text{ }(\bmod 41)$?