Số học trong các đề thi HSG

@Câu 1. [id1129] (Ts10 chuyên tỉnh Nghệ An 2019-2020) Cho đa thức $P(x)=\text{a}{{\text{x}}^{2}}+bx+c$ $\left( a\in \Nu * \right)$ thỏa mãn $P\left( 9 \right)-P\left( 6 \right)=2019.$ Chứng minh $P\left( 10 \right)-P\left( 7 \right)$ là một số lẻ.

@Câu 2. [id1130] (Ts10 chuyên tỉnh Ninh Bình 2019-2020) Cho $P\left( x \right)$ là một đa thức bậc n với hệ số nguyên, $n\ge 2$. Biết $P\left( 1 \right).P\left( 2 \right)=2019,$ chứng minh rằng phương trình $P\left( x \right)=0$ không có nghiệm nguyên.

@Câu 3. [id1131] (HSG9 Hà Tĩnh 2018-2019)Dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$ thỏa mãn ${{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+3,\forall n\in {{N}^{*}}$ và ${{a}_{2}}+{{a}_{19}}=25$ . Tính tổng $S={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{20}}$.

@Câu 4. [id1132] (Ts10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Chứng minh rằng số $M={{(n+1)}^{4}}+{{n}^{4}}+1$ chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số $n$ nguyên dương.

@Câu 5. [id1133] (Ts10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Chứng minh rằng số $M={{(n+1)}^{4}}+{{n}^{4}}+1$ chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số $n$ nguyên dương.

@Câu 6. [id1134] (Ts10 chuyên tỉnh Bình Định 2019-2020) Gọi $n$ số ${{x}_{1}}\,;\,\,{{x}_{2}}\,;\,\,{{x}_{3}}\,;\,...\,;\,\,{{x}_{n}}\,\,\,\left( n\in \mathbb{Z}\,,\,\,n\ge 3 \right)$ thỏa mãn: mỗi số ${{x}_{i}}\,\,\left( i=\overline{1\,,\,n} \right)$ bằng $2019$ hoặc $-2019$ và ${{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+...+{{x}_{n-1}}{{x}_{n}}+{{x}_{n}}{{x}_{1}}=0\,.$ Chứng minh rằng $n$ là một bội của $4\,.$

@Câu 7. [id1135] (Ts10 chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Chứng minh rằng số có dạng $A={{n}^{6}}-{{n}^{4}}+2{{n}^{3}}+2{{n}^{2}}$ không phải là số chính phương, trong đó $n\in N,n > 1$ .

@Câu 8. [id1136] (Ts10 chuyên tỉnh Bến Tre 2019-2020)Cho $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn ${{a}^{2019}}+{{b}^{2020}}+{{c}^{2021}}$là bội số của 6. Chứng minh rằng ${{a}^{2021}}+{{b}^{2022}}+{{c}^{2023}}$ cũng là bội số của 6.

@Câu 9. [id1137] (Ts10 chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP 2019-2020) Cho ba số nguyên dương $a,\,\,b,\,\,c$ thỏa mãn ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$ chia hết cho $14$ . Chứng minh rằng $abc$ cũng chia hết cho $14$ .

@Câu 10. [id1138] (Ts10 chuyên tỉnh DAK LAK 2019-2020) Tìm các số tự nhiên $n$ thỏa mãn ${{4}^{2019}}+{{3}^{n}}$ có chữ số tận cùng là 7.

@Câu 11. [id1139] (Ts10 chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Cho $m,n$ là hai số nguyên. Chứng minh rằng nếu $7{{\left( m+n \right)}^{2}}+2mn$ chia hết cho 225 thì $mn$ cũng chia hết cho 225.

@Câu 12. [id1140] (Ts10 chuyên tỉnh Hà Nam 2019-2020) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho ${{7}^{n}}+147$ là số chính phương.

@Câu 13. [id1141] (Ts10 chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Cho biểu thức $P=ab\left( a+b \right)+2$, với $a,b$ là các số nguyên. Chứng minh nếu giá trị của biểu thức $P$ chia hết cho $3$ thì $P$ chia hết cho $9.$

@Câu 14. [id1142] (Ts10 chuyên tỉnh Hà nội 2019-2020) Cho biểu thức $P=abc\left( a-1 \right)\left( b+4 \right)\left( c+6 \right),$ với $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $a+b+c=2019.$ Chứng minh giá trị của biểu thức $P$ chia hết cho $6.$

@Câu 15. [id1143] (Ts10 chuyên tỉnh Hà nội 2019-2020) Tìm tất cả số tự nhiên $n$ để giá trị của biểu thức $Q=\sqrt{n+2}+\sqrt{n+\sqrt{n+2}}$ là số nguyên.

@Câu 16. [id1144] (Ts10 chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2019-2020) Cho $a,\ b,\ c$ là các số nguyên đôi một khác nhau thỏa mãn: ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc.$ Chứng minh $2\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} \right)$ là số chính phương.

@Câu 17. [id1145] (Ts10 chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Tìm tất cả các số chính phương có 4 chữ số sao cho 2 chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau.

@Câu 18. [id1146] (Ts10 chuyên tỉnh Hải Dương 2019-2020) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn: $2{{a}^{2}}+a=3{{b}^{2}}+b$. Chứng minh rằng:$2a+2b+1$là số chính phương.

@Câu 19. [id1147] (Ts10 chuyên tỉnh Hải phòng 2019-2020) Tìm các số nguyên tố $p;q$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) ${{p}^{2}}q+p$ chia hết cho ${{p}^{2}}+q$. ii) $p{{q}^{2}}+q$ chia hết cho ${{q}^{2}}-p$.

@Câu 20. [id1148] (Ts10 chuyên tỉnh Hậu Giang 2019-2020) Cho trước số nguyên dương $m.$ Tìm một số nguyên dương $n$ sao cho $m+n+1$ là số chính phương và $mn+1$ là lập phương của một số tự nhiên.

@Câu 21. [id1149] (Ts10 chuyên tỉnh Nam Định 2019-2020) Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên thì $\dfrac{{{n}^{5}}+29n}{30}$ cũng là số nguyên.

@Câu 22. [id1150] (Ts10 chuyên tỉnh Nam Định 2019-2020) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $\left( x;y \right)$ sao cho $2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x+2y \right)-1$ và $5\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+2y+3 \right)$ đều là các số chính phương.

@Câu 23. [id1151] (Ts10 chuyên tỉnh Nghệ An 2019-2020) Tìm các cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ sao cho ${{x}^{2}}y+x+y$ chia hết cho $x{{y}^{2}}+y+1$ .

@Câu 24. [id1152] (Ts10 chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 2 ) năm 2019-2020) a) Tìm tất cả những số tự nhiên $n$ sao cho ${{2}^{n}}+1$ chia hết cho $9$ . b) Cho $n$ là số tự nhiên $n > 3$ . Chứng minh rằng ${{2}^{n}}+1$ không chia hết cho ${{2}^{m}}-1$ với mọi số tự nhiên $m$ sao cho $2 < m\le n$ .

@Câu 25. [id1153] (Ts10 chuyên tỉnh Quảng Nam 2019-2020) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số $M={{9.3}^{4n}}-{{8.2}^{4n}}+2019$ chia hết cho 20.

@Câu 26. [id1154] (Ts10 chuyên tỉnh Quảng Ngãi 2019-2020) Số tự nhiên $n={{111}^{6}}$ có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích của tất cả các ước số đó.

@Câu 27. [id1155] (Ts10 chuyên tỉnh Thái Nguyên 2019-2020) Cho $a$ là số tự nhiên không chia hết cho 5 và 7. Chứng minh $\left( {{a}^{4}}-1 \right)\left( {{a}^{4}}+15{{a}^{2}}+1 \right)$ chia hết cho 35.

@Câu 28. [id1156] (Ts10 chuyên tỉnh Thái Nguyên 2019-2020) Cho $P(x)$là đa thức bậc bốn và có hệ số của bậc cao nhất là 1. Biết rằng $P\left( 2016 \right)=2017,\,\,\,P\left( 2017 \right)=2018,\,\,\,P\left( 2018 \right)=2019,\,\,\,P\left( 2019 \right)=2020.$ Chứng minh $P(2020)$ là một số tự nhiên chia hết cho 5.

@Câu 29. [id1157] (Ts10 chuyên tỉnh Vĩnh Long 2019-2020) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ${{n}^{3}}+9n+1$ không chia hết cho $6$.

@Câu 30. [id1158] (Ts10 chuyên tỉnh Phú Thọ 2019-2020) Với mỗi số thực $x,$ kí hiệu $\left[ x \right]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x.$ Ví dụ $\left[ \sqrt{2} \right]=1;\left[ -\dfrac{3}{2} \right]=-2$ a) Chứng minh rằng $x-1 < \left[ x \right]\le x < \left[ x \right]+1=\left[ x+1 \right]$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$ b) Có bao nhiêu số nguyên dương $n\le 840$ thỏa mãn $\left[ \sqrt{n} \right]$ là ước của $n?$

@Câu 31. [id1159] (Ts10 chuyên tỉnh Quảng Trị 2019-2020) Cho số tự nhiên có 3 chữ số $\overline{abc}$ . Chứng minh rằng: $\overline{abc}$ chia hết cho 21 khi và chỉ khi $a-2b+4c$ chia hết cho 21.

@Câu 32. [id1160] (Ts10 chuyên tỉnh Thanh hóa 2019-2020) Cho hai số nguyên dương $x,y$ với x > 1 và thỏa mãn điều kiện $2{{\text{x}}^{2}}-1={{y}^{15}}$. Chứng minh rằng $x$ chia hết cho 15.

@Câu 33. [id1161] (Ts10 chuyên tỉnh Yên Bái 2019-2020) Chứng minh $A=\underbrace{11...1}_{2019}\underbrace{22...2}_{2020}5$ là số chính phương.

@Câu 34. [id1162] (HSG9 Bà Rịa Vũng Tàu 2018-2019) 1) Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: ${{46}^{n}}+{{296.13}^{n}}$ chia hết cho 1947 2) Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số thỏa mãn nếu ta cộng thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B cũng gồm 4 chữ số . Tìm hai số A và B.

@Câu 35. [id1163] (HSG9 Bình Phước 2018-2019) Chứng minh rằng với n là số chẵn thì ${{n}^{3}}+20n+96$ chia hết cho 48.

@Câu 36. [id1164] (HSG9 Bình Thuận 2018-2019) Tìm số tự nhiên n sao cho ${{n}^{2}}+18n+2020$ là một số chính phương.

@Câu 37. [id1165] (HSG9 Bắc Giang 2018-2019) Chứng minh rằng trong $12$ số tự nhiên bất kỳ có ba chữ số, luôn tồn tại hai số sao cho khi ghép chúng lại cạnh nhau để được một số có sáu chữ số chia hết cho $11.$

@Câu 38. [id1166] (HSG9 Gia Lai 2018-2019) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, số $A=3{{n}^{3}}+15n$ chia hết cho $18$ .

@Câu 39. [id1167] (HSG9 Hà Nội 2018-2019) Biết $a;b$ là các số nguyên dương thỏa mãn ${{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}$ chia hết cho 9, chứng minh rằng cả $a$ và $b$ đều chia hết cho 3.

@Câu 40. [id1168] (HSG9 Hà Nội 2018-2019) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho ${{9}^{n}}+11$ là tích của $k$ $\left( k\in \mathbb{N},k\ge 2 \right)$ số tự nhiên liên tiếp.

@Câu 41. [id1169] (HSG9 Hòa Bình 2018-2019) a)Chứng minh rằng $A={{a}^{3}}-7a+12$ luôn chia hết cho 6 với mọi số $a\in \mathbb{Z}$. b)Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

@Câu 42. [id1170] (HSG9 Hải Dương 2018-2019) Chứng minh rằng $a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+...+a_{n}^{3}$ chia hết cho $3$, biết ${{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}},\,...\,,\,{{a}_{n}}$ là các chữ số của ${{2019}^{2018}}$.

@Câu 43. [id1171] (HSG9 Hải Phòng 2018-2019) Cho biểu thức $P={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{2019}}$ với ${{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}};...;{{a}_{2019}}$ là các số nguyên dương và $P$ chia hết cho 30. Chứng minh rằng $Q=a_{1}^{5}+a_{2}^{5}+a_{3}^{5}+...+a_{2019}^{5}$chia hết cho 30.

@Câu 44. [id1172] (HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Cho đa thức hệ số nguyên $P\left( x \right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ và hai số nguyên $a,b$ khác nhau. Chứng minh: $P\left( a \right)-P\left( b \right)$ chia hết cho$\,\left( a-b \right)$.

@Câu 45. [id1173] (HSG9 Lai Châu 2018-2019) Tìm dư trong phép chia: ${{x}^{200}}-2{{x}^{91}}+1\,\,\text{cho}\,\,{{x}^{2}}-1.$

@Câu 46. [id1174] (HSG9 Lâm Đồng 2018-2019) Chứng minh rằng $2{{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+n$ chia hết cho $6$ với mọi số nguyên $n$ .

@Câu 47. [id1175] (HSG9 Nghệ An bảng A 2018-2019) Chứng minh rằng $A={{2}^{{{2}^{n}}}}+{{4}^{n}}+16$ chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.

@Câu 48. [id1176] (HSG9 Nghệ An bảng B 2018-2019) Chứng minh rằng $A={{4}^{n}}+17$ chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.

@Câu 49. [id1177] (HSG9 Quảng Bình 2018-2019) Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $C={{2019}^{n}}+2020$ là số chính phương.

@Câu 50. [id1178] (HSG9 Quảng Ngãi 2018-2019) Cho $a,\text{ }b,\text{ }c~$ là các số nguyên thỏa mãn $a+b={{c}^{3}}-2018c$ . Chứng minh rằng $A={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$ chia hết cho 6.

@Câu 51. [id1179] (HSG9 Quảng Ngãi 2018-2019) Cho $B=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n.\left( n-1 \right).\left( n-2 \right)$ với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ . Chứng minh rằng B không là số chính phương.

@Câu 52. [id1180] (HSG9 Quảng Ninh bảng A 2018-2019) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho giá trị biểu thức $2{{n}^{2}}+18n-3$ chia hết cho $13$ .

@Câu 53. [id1181] (HSG9 Quảng Trị 2018-2019) Cho các số nguyên $a$ , $b$ , $c$ thỏa mãn $\dfrac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}=\dfrac{2c}{b+c}$ . Chứng minh $bc$ là một số chính phương.

@Câu 54. [id1182] (HSG9 Thanh hóa 2018-2019) Cho $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ . Chứng minh rằng nếu $2n+1$ và $3n+1$ là các số chính phương thì $n$ chia hết cho $40$ .

@Câu 55. [id1183] (HSG9 Vĩnh Phúc 2018-2019) Chứng minh rằng: $A=1.2.3...2017.2018.\left( 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2017}+\dfrac{1}{2018} \right)$ chia hết cho $2019$ .

@Câu 56. [id1184] (HSG9 Hà Tĩnh 2018-2019) Cho đa thức $P(x)={{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$. Biết $P(1)=3,P(2)=6,P(3)=11$. Tính $Q=4P(4)+P(-1)$

@Câu 57. [id1185] (HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Cho đa thức $P\left( x \right)$ hệ số nguyên thỏa $P\left( 9 \right)=10$ và $P\left( 10 \right)=9$. Tồn tại hay không số nguyên ${{x}_{0}}$ sao cho $P\left( {{x}_{0}} \right)={{x}_{0}}$.

@Câu 58. [id1186] (HSG9 Nam Định 2018-2019) Cho các đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn $P(x)=\dfrac{1}{2}\left[ Q\left( x \right)+Q\left( 1-x \right) \right]$ với mọi $x.$ Biết rằng hệ số của $P(x)$ là các số nguyên không âm và $P(0)=0.$ Tính $P\left[ 3P\left( 3 \right)-P\left( 2 \right) \right].$

@Câu 59. [id1187] (HSG9 Quảng Bình 2018-2019) a) Tìm $a$ và $b$ để đa thức $P(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\text{+ a}x+b$ là bình phương của một đa thức.

@Câu 60. [id1188] (Ts10 chuyên tỉnh Bình Dương 2019-2020) Tìm tất cả các số nguyên $x$ cho $\dfrac{x-3}{{{x}^{2}}+1}$ là một số nguyên.

@Câu 61. [id1189] (Ts10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phương trình ${{x}^{2}}-{{n}^{2}}x+n+1=0$ (ẩn số x) có các nghiệm là số nguyên.

@Câu 62. [id1190] (Ts10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phương trình ${{x}^{2}}-{{n}^{2}}x+n+1=0$ (ẩn số x) có các nghiệm là số nguyên.

@Câu 63. [id1191] (Ts10 chuyên tỉnh Bắc Giang 2019-2020) Tìm tất cả các số nguyên tố $x,\,y,\,z$ thỏa mãn $\left( x+2 \right)\left( y+3 \right)\left( z+4 \right)=8xyz.$

@Câu 64. [id1192] (Ts10 chuyên tỉnh Bắc Ninh 2019-2020) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $\left( xy+x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)=30$.

@Câu 65. [id1193] (Ts10 chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP 2019-2020) Tìm tất cả các cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn ${{x}^{2}}{{y}^{2}}-4{{x}^{2}}y+{{y}^{3}}+4{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}+1=0$ .

@Câu 66. [id1194] (Ts10 chuyên tỉnh Cần thơ 2019-2020) Tìm tất cả cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $2020\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-2019\left( 2xy+1 \right)=5$

@Câu 67. [id1195] (Ts10 chuyên tỉnh DAK LAK 2019-2020) Tìm các bộ số tự nhiên $\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}};...;{{a}_{2019}} \right)$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{2019}}\ge {{2019}^{2}} \\ & a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{2019}^{2}\le {{2019}^{3}}+1 \\ \end{align} \right.$.

@Câu 68. [id1196] (Ts10 chuyên tỉnh DAK NONG 2019-2020) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình $2{{x}^{2}}y-1={{x}^{2}}+3y$.

@Câu 69. [id1197] (Ts10 chuyên tỉnh Gia lai 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên của phương trình ${{x}^{2}}-3{{y}^{2}}+2xy-2x-10y+4=0$.

@Câu 70. [id1198] (Ts10 chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên của phương trình ${{x}^{2}}+x-3=\left( x-1 \right)\left( 2{{y}^{2}}+y \right)$.

@Câu 71. [id1199] (Ts10 chuyên tỉnh Hòa Bình 2019-2020) Có 5 đội bóng đá A, B, C, D, E thi đấu trong một bảng theo thể thức vòng tròn (mỗi đội gặp nhau 2 trận, trận lượt đi và trận lượt về). Trong mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua không có điểm, đội hòa được 1 điểm. Kết thúc vòng bảng, số điểm của mỗi đội được thống kê như sau: Đội.A.B.C.D.E Điểm.15.14.10.5.4 Hỏi trong tất cả các trận đấu đã diễn ra có bao nhiêu trận hòa?

@Câu 72. [id1200] (Ts10 chuyên tỉnh Hải Dương 2019-2020) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn điều kiện:${{x}^{2}}-6xy+10{{y}^{2}}=2(x-5y)$.

@Câu 73. [id1201] (Ts10 chuyên tỉnh Ninh Bình 2019-2020) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn ${{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=x+y+3$ .

@Câu 74. [id1202] (Ts10 chuyên tỉnh Phú Yên 2019-2020) Tìm tất cả các cặp số nguyên $\left( x,y \right)$ thỏa mãn $\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+y}=\dfrac{85}{13}\cdot $

@Câu 75. [id1203] (Ts10 chuyên tỉnh Quảng Ngãi 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

@Câu 76. [id1204] (Ts10 chuyên tỉnh Quảng Ninh 2019-2020)Tìm các số nguyên không âm $a,$ $b,$ $n$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{align} & {{n}^{2}}=a+b \\ & {{n}^{3}}+2={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ \end{align} \right.$ .

@Câu 77. [id1205] (Ts10 chuyên tỉnh Thái Bình 2019-2020) Tìm các nghiệm nguyên (x,y) của phương trình √x+√y=√2020.

@Câu 78. [id1206] (Ts10 chuyên tỉnh Thái Bình 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, điểm $M\left( a,b \right)$ được gọi là điểm nguyên nếu cả $a$ và $b$ đều là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại điểm $I$ trong mặt phẳng tọa độ và $2019$ số thực dương ${{R}_{1}};{{R}_{2}};\ldots {{R}_{2019}}$ sao cho có đúng $k$ điểm nguyên nằm trong đường tròn $\left( I;{{R}_{k}} \right)$ với mọi $k$ là số nguyên dương không vượt quá 2019.

@Câu 79. [id1207] (Ts10 chuyên tỉnh Tiền Giang 2019-2020) Tìm tất cả các cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $\left( 2x+5y+1 \right)\left( {{2}^{\left| x \right|-1}}+y+{{x}^{2}}+x \right)=65$

@Câu 80. [id1208] (Ts10 chuyên tỉnh Tuyên Quang 2019-2020) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để $A=\dfrac{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+x+2}{{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+3x+6}$ nhận giá trị là một số nguyên.

@Câu 81. [id1209] (Ts10 chuyên tỉnh Vĩnh Long 2019-2020) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình ${{x}^{3}}-xy-9x-3y+3=0$.

@Câu 82. [id1210] (Ts10 chuyên tỉnh Bình Phước 2019-2020) Giải phương trình nghiệm nguyên 4y^2=2+√(199-x^2-2x).

@Câu 83. [id1211] (Ts10 chuyên tỉnh Quảng Trị 2019-2020) Tìm tất cả các số nguyên tố $x,\,y,\,z$ thỏa mãn ${{x}^{y}}=z-1.$

@Câu 84. [id1212] (Ts10 chuyên tỉnh Thanh hóa 2019-2020) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoã mãn : ${{y}^{2}}+y={{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x$

@Câu 85. [id1213] (Ts10 chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế 2019-2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho $\dfrac{{{2}^{2020}}}{3x+1}$ là số nguyên ?

@Câu 86. [id1214] (Ts10 chuyên tỉnh Vĩnh Phúc 2019-2020) Tìm tất cả các số nguyên $x,\,y$ thỏa mãn $9{{x}^{2}}-3xy-24x-2{{y}^{2}}+y+28=0$

@Câu 87. [id1215] (Ts10 chuyên tỉnh Yên Bái 2019-2020) Tìm các số $x,y$ nguyên thỏa mãn: ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}-2{{y}^{2}}-3y-1=0$.

@Câu 88. [id1216] (HSG9 Bình Phước 2018-2019) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình $4{{y}^{4}}+6{{y}^{2}}-1=x$.

@Câu 89. [id1217] (HSG9 Bình Định 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2x{{y}^{2}}+\,\,x\,\,+\,\,y\,\,+\,\,1\,\,=\,\,{{x}^{2}}+\,\,2{{y}^{2}}+\,\,xy$

@Câu 90. [id1218] (HSG9 DAK LAK 2018-2019) Giải phương trình nghiệm nguyên $2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy+6x+4y=20.$

@Câu 91. [id1219] (HSG9 Hà Nam 2018-2019) Tìm các số nguyên $x,\,y$ thỏa mãn ${{x}^{2}}-5x+7={{3}^{y}}.$

@Câu 92. [id1220] (HSG9 Hải Dương 2018-2019) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình ${{x}^{2}}+x+2{{y}^{2}}+y=2x{{y}^{2}}+xy+3$.

@Câu 93. [id1221] (HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên $\left( x;y \right)$ của phương trình: ${{x}^{2}}-y+1={{y}^{2}}+2x$.

@Câu 94. [id1222] (HSG9 Lai Châu 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2{{x}^{2}}+4x=19-3{{y}^{2}}$ .

@Câu 95. [id1223] (HSG9 Lâm Đồng 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $2x+5y-3xy=1$ .

@Câu 96. [id1224] (HSG9 Lạng Sơn 2018-2019) Tìm tất cả các cặp $\left( x;y \right)$ nguyên thỏa mãn ${{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-2 \right)}^{2}}-2xy\left( x+2y-4 \right)=5$.

@Câu 97. [id1225] (HSG9 Nam Định 2018-2019) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: $\left( x-y-1 \right)\left( x+1-y \right)+6xy+{{y}^{2}}\left( 2-x-y \right)=2\left( x+1 \right)\left( y+1 \right).$

@Câu 98. [id1226] (HSG9 Nghệ An bảng A 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2{{y}^{2}}+x-2y+5=xy.$.

@Câu 99. [id1227] (HSG9 Nghệ An bảng B 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $xy-5=2{{y}^{2}}.$

@Câu 100. [id1228] (HSG9 Ninh Bình 2018-2019) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình ${{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-22x-121=0$.

@Câu 101. [id1229] (HSG9 Quảng Nam 2018-2019) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy-4x-6y+1=0.$

@Câu 102. [id1230] (HSG9 Quảng Ngãi 2018-2019) Tìm các số nguyên $x,$ $y$ thỏa mãn ${{4}^{x}}=1+{{3}^{y}}$ .

@Câu 103. [id1231] (HSG9 Quảng Ninh bảng A 2018-2019) Chứng minh rằng không tồn tại hai số nguyên x, y thỏa mãn ${{x}^{3}}={{y}^{3}}+2019$.

@Câu 104. [id1232] (HSG9 Thanh hóa 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên của phương trình ${{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( x+y \right)+x=2+y\left( x-1 \right)$.

@Câu 105. [id1233] (HSG9 Trà Vinh 2018-2019) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=x+y+z+2017$

@Câu 106. [id1234] (Ts10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020)Trong một buổi tổ chức tuyên dương các học sinh có thành tích học tập xuất sắc của một huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bất kì đều bắt tay nhau, An chỉ bắt tay với những người mình quen. Biết rằng một cặp (hai người) chỉ bắt tay nhau không quá một lần và có tổng cộng 420 lần bắt tay. Hỏi bạn An có bao nhiêu người quen trong buổi tổ chức tuyên dương đó?

@Câu 107. [id1235] (Ts10 chuyên tỉnh Bình Định 2019-2020) Tại mỗi đỉnh của đa giác đều $2020$ cạnh ta đánh một số bất kì trong các số tự nhiên từ $1$ đến $1009\,.$ Chứng minh rằng tồn tại $4$ đỉnh của đa giác đã cho (kí hiệu là $A\,,\,\,B\,,\,\,C\,,\,\,D$ với các số được đánh tương ứng là $a\,,\,\,b\,,\,\,c\,,\,\,d$ ) sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật và $a+b=c+d\,.$

@Câu 108. [id1236] (Ts10 chuyên tỉnh Bắc Ninh 2019-2020) Cho $2020$ cái kẹo vào $1010$ chiếc hộp sao cho không có hộp nào chứa nhiều hơn $1010$ cái kẹo và mỗi hộp chứa ít nhất $1$cái kẹo. Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số hộp mà tổng số kẹo trong các hộp đó bằng $1010$ cái.

@Câu 109. [id1237] (Ts10 chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Trên bàn có hai túi kẹo : túi thứ nhất có $22$ viên kẹo, túi thứ hai có $29$ viên kẹo. An và Bình cùng chơi một trò chơi như sau : mỗi lượt chơi, một bạn sẽ chọn một túi kẹo và lấy ít nhất $1$ viên kẹo trong túi kẹo đó. Hai bạn luân phiên thực hiện lượt chơi của mình. Bạn đầu tiên không thể thực hiện được lượt chơi của mình là người thua cuộc. Nếu An là người lấy kẹo trước, hãy chỉ ra chiến thuật chơi để An luôn là người thắng cuộc.

@Câu 110. [id1238] (Ts10 chuyên tỉnh Hà nội 2019-2020) Mỗi điểm trong một mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. 1) Chứng minh trong mặt phẳng đó tồn tại hai điểm được tô bởi cùng một màu và có khoảng cách bằng $d.$ 2) Gọi tam giác có ba đỉnh được tô bởi cùng một màu là tam giác đơn sắc. Chứng minh trong mặt phẳng đó tồn tại hai tam giác đơn sắc là hai tam giác vuông và đồng dạng với nhau theo tỉ số $k=\dfrac{1}{2019}.$

@Câu 111. [id1239] (Ts10 chuyên tỉnh Hải phòng 2019-2020) Viết lên bảng $2019$ số: $1;\,\dfrac{1}{2};\,\,\dfrac{1}{3};\,\,...\,\,;\,\dfrac{1}{2018};\,\dfrac{1}{2019}$. Từ các số đã viết xóa đi 2 số bất kì $x;\,\,y$ rồi viết lên bảng số $\dfrac{xy}{x+y+1}$ (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?

@Câu 112. [id1240] (Ts10 chuyên tỉnh Khánh Hòa 2019-2020) Huyện KS có 33 công ty, huyện KV có 100 công ty. Biết rằng, mỗi công ty của huyện KS hợp tác với ít nhất 97 công ty huyện KV. Chứng minh rằng có ít nhất một công ty của huyện KV hợp tác với tất cả các công ty của huyện KS.

@Câu 113. [id1241] (Ts10 chuyên tỉnh Kon Tum 2019-2020) Cho tập hợp A gồm 41 phần tử là các số nghuên khác nhau thỏa mãn tổng của 21 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 20 phần tử còn lại. Biết các số 401 và 402 thuộc tập A. Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A.

@Câu 114. [id1242] (Ts10 chuyên tỉnh Nam Định 2019-2020) Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả 32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận được bút của thầy. Chứng minh rằng có một số bạn lớp 9A nhận được số lượng bút tổng cộng là 25.

@Câu 115. [id1243] (Ts10 chuyên tỉnh Nghệ An 2019-2020) Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019.

@Câu 116. [id1244] (Ts10 chuyên tỉnh Ninh Bình 2019-2020) Trong hình tròn có diện tích bằng $1009c{{m}^{2}}$ lấy 2019 điểm phân biệt bất kì sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng trong 2019 điểm đó luôn tìm được ba điểm tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn $1c{{m}^{2}}$.

@Câu 117. [id1245] (Ts10 chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 2 ) năm 2019-2020) Trong một buổi gặp gỡ giao lưu giữa các học sinh đến từ $n$ quốc gia, người ta nhận thấy rằng cứ $10$ học sinh bất kỳ thì có ít nhất $3$ học sinh đến từ cùng một quốc gia. a) Gọi $k$ là số các quốc gia có đúng $1$ học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng $n < \dfrac{k+10}{2}$ . b) Biết rằng số các học sinh tham dự buổi gặp gỡ là $60$ . Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất là $15$ học sinh đến từ cùng một quốc gia.

@Câu 118. [id1246] (Ts10 chuyên tỉnh Quảng Ngãi 2019-2020) Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu +. Sau đó thực hiện quá trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lượt theo các bước sau: Bước 1: Các ô ở dòng thứ $i$ đều được đổi dấu $i$ lần, $i=1,2,...,2019.$ Bước 2: Các ô ở cột thứ $j$ đều được đổi dấu $3j+1$ lần, $j=1,2,...,2019.$ Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên.

@Câu 119. [id1247] (Ts10 chuyên tỉnh Quảng Ninh 2019-2020) Cho trước p là số nguyên tố. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , lấy hai điểm $A\left( {{p}^{8}};0 \right)$ và $B\left( {{p}^{9}};0 \right)$ thuộc trục $Ox$ . Có bao nhiêu tứ giác $ABCD$ nội tiếp sao cho các điểm $C,D$ thuộc trục $Oy$ và đều có tung độ là các số nguyên dương.

@Câu 120. [id1248] (Ts10 chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Hai bạn Thái và Nguyên cùng chơi trò lấy kẹo trong một hộp có 2019 chiếc kẹo. Cách chơi như sau: “ Mỗi người đến lượt mình được lấy một số kẹo bất kỳ là lũy thừa với số mũ tự nhiên của 2, ai lấy được chiếc kẹo cuối cùng là người thắng cuộc”. Bạn Thái là người được lấy kẹo trước. Hãy chỉ ra một chiến thuật giúp cho bạn Nguyên luôn là người thắng cuộc.

@Câu 121. [id1249] (Ts10 chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho 19 điểm nằm trong hay nằm trên cạnh của một lục giác đều cạnh $3cm.$ Chứng minh có ít nhất hai trong số các điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá $\sqrt{3}cm.$

@Câu 122. [id1250] (Ts10 chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) Có một nhóm bạn đi hái nấm. Số nấm của bạn hái được ít nhất bằng $\dfrac{1}{7}$ tổng số nấm hái được. Số nấm của bạn hái được nhiều nhất bằng $\dfrac{1}{5}$ tổng số nấm hái được. Hỏi nhóm bạn đó có bao nhiêu người?

@Câu 123. [id1251] (Ts10 chuyên tỉnh Long An 2019-2020) Cho các số tự nhiên 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Từ các số tự nhiên trên ta thành lập số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và số tự nhiên được thành lập phải chia hết cho 3. Ta thành lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên như vậy?

@Câu 124. [id1252] (Ts10 chuyên tỉnh Phú Thọ 2019-2020) Có 15 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ.

@Câu 125. [id1253] (Ts10 chuyên tỉnh Thanh hóa 2019-2020) Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng phân biệt sao cho không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong số các đường thẳng đã cho gọi là tam giác đẹp nếu nó không bị đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cắt. Chứng minh rằng số tam giác đẹp không ít hơn 674.

@Câu 126. [id1254] (Ts10 chuyên tỉnh Vĩnh Phúc 2019-2020) Bạn Bình có 19 viên bi màu xanh, 21 viên bi màu đỏ và 23 viên bi màu vàng. Bình thực hiện một trò chơi theo quy tắc sau: Mỗi lần Bình chọn 2 viên bi có màu khác nhau, rồi sơn chúng bởi màu thứ ba (Ví dụ: Nếu Bình chọn 2 viên bi gồm 1 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu đỏ thì Bình sơn 2 viên bi này thành màu vàng). Hỏi sau một số hữu hạn lần thực hiện trò chơi theo quy tắc trên, bạn Bình có thể thu được tất cả các viên bi cùng một màu hay không ? Tại sao ?

@Câu 127. [id1255] (Ts10 chuyên tỉnh Yên Bái 2019-2020) Từ một đa giác đều $15$ đỉnh, chọn ra $7$ đỉnh bất kỳ. Chứng minh rằng có $3$ đỉnh trong số các đỉnh đã chọn là ba đỉnh của một tam giác cân.

@Câu 128. [id1256] (HSG9 Bình Thuận 2018-2019) Trên đường tròn (C) bán kính bằng 1 cho 2019 điểm phân biệt ${{A}_{1}},\,{{A}_{2}},\,{{A}_{3}},{{A}_{4}},...,{{A}_{2019}}.$ Chứng minh rằng tồn tại một điểm M trên (C) thỏa mãn $M{{A}_{1}}+\,M{{A}_{2}}+\,M{{A}_{3}},+...+M{{A}_{2019}} > 2019.$ Nội Dung

@Câu 129. [id1257] (HSG9 Bình Định 2018-2019) Trong mặt phẳng cho $8073$ điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được $2019$ điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1.

@Câu 130. [id1258] (HSG9 Bắc Ninh 2018-2019) Trong kì thi Olympic có $17$ học sinh thi môn Toán được mang số báo danh là số tự nhiên trong khoảng từ $1$ đến $1000.$ Chứng minh rằng có thể chọn ra $9$ học sinh thi toán có tổng các số báo danh được mang chia hết cho $9.$

@Câu 131. [id1259] (HSG9 Gia Lai 2018-2019) Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Tỉnh, đoàn học sinh huyện A có 17 học sinh dự thi. Mỗi thí sinh có số báo danh là một số tự nhiên trong khoảng từ 1 đến 907. Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh trong đoàn có tổng các số báo danh chia hết cho 9.

@Câu 132. [id1260] (HSG9 Hà Nội 2018-2019) Xét bảng ô vuông cỡ $10\times 10$ gồm $100$ hình vuông có cạnh $1$ đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá $1$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất $6$ lần.

@Câu 133. [id1261] (HSG9 Hưng Yên 2018-2019) Trên mặt phẳng có $25$ điểm phân biệt, biết rằng trong $3$ điểm bất kỳ đã cho bao giờ cũng tìm được $2$ điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn $1$. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính $1$ chứa không ít hơn $13$ điểm trong $25$ điểm nói trên.

@Câu 134. [id1262] (HSG9 Hải Phòng 2018-2019) Bên trong đường tròn có đường kính $AB=19$ cho 38 đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng có độ dài bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng vuông góc hoặc song song với $AB$ và giao ít nhất hai đoạn trong 38 đoạn đã cho.

@Câu 135. [id1263] (HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng $a+b-2$ lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 49 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

@Câu 136. [id1264] (HSG9 Lạng Sơn 2018-2019) Cho đa giác đều 30 đỉnh. Chứng minh rằng trong các đỉnh đó, bất kì một bộ gồm có 9 đỉnh nào đều chứa 4 đỉnh tạo nên một hình thang cân.

@Câu 137. [id1265] (HSG9 Nam Định 2018-2019) Cho một đa giác có 10 đỉnh như hình vẽ (4 đỉnh $A,\,B,\,C,\,D$ hoặc $B,\,C,\,D,\,E$ hoặc $C,\,D,\,E,\,F$ hoặc … hoặc $J,\,A,\,B,\,C$ được gọi là 4 đỉnh liên tiếp của đa giác). Các đỉnh của đa giác được đánh số một cách tùy ý bởi các số nguyên thuộc tập hợp $\left\{ 1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9;\,\,10 \right\}$ (biết mỗi đỉnh chỉ được đánh bởi một số, các số được đánh ở các đỉnh là khác nhau). Chứng minh rằng ta luôn tìm được 4 đỉnh liên tiếp của đa giác được đánh số mà tổng các số đó lớn hơn 21.

@Câu 138. [id1266] (HSG9 Nghệ An bảng A 2018-2019) Trong hình vuông cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng $\dfrac{1}{91}$ nằm trong hình vuông đó mà không chứa điểm nào trong 2019 điểm đã cho.

@Câu 139. [id1267] (HSG9 Nghệ An bảng B 2018-2019) Cho 2019 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và một đường thẳng (d) không đi qua các điểm đã cho. Chứng minh rằng số giao điểm của các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm trong 2019 điểm nói trên với đường thẳng (d) là một số chẵn.

@Câu 140. [id1268] (HSG9 Ninh Bình 2018-2019) Cho 8 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 210. Chứng minh rằng trong 8 đoạn thẳng đó luôn tìm được ba đoạn thẳng để ghép thành một tam giác.

@Câu 141. [id1269] (HSG9 Sơn La 2018-2019) Cho hình vuông $ABCD$ và 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn: Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và chia hình vuông thành hai phần có tỷ số diện tích là $\dfrac{1}{2}.$Chứng minh rằng trong 2019 đường thẳng trên có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.

@Câu 142. [id1270] (HSG9 Vĩnh Phúc 2018-2019)Cho $1000$ điểm phân biệt ${{M}_{1}},{{M}_{2}},...{{M}_{1000}}$trên mặt phẳng. Vẽ một đường tròn $\left( C \right)$ bán kính $R=1$ tùy ý. Chứng minh rằng tồn tại điểm $S$ trên đường tròn $\left( C \right)$ sao cho $S{{M}_{1}}+S{{M}_{2}}+...+S{{M}_{1000}}\ge 1000$.

@Câu 143. [id1271] (Ts10 chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Tìm tất cả số tự nhiên $x$ để giá trị của biểu thức $P={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x+3$ là lũy thừa của một số nguyên tố.

@Câu 144. [id1272] (Ts10 chuyên tỉnh Bình Phước 2019-2020) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p,q) sao cho p^2-2q^2=41.

@Câu 145. [id1273] (Ts10 chuyên tỉnh Vĩnh Phúc 2019-2020) Tìm tất cả các số nguyên dương $p,\,m,\,n$ thỏa mãn ${{2}^{m}}{{p}^{2}}+1={{n}^{5}}$ , trong đó $p$ là số nguyên tố.

@Câu 146. [id1274] (HSG9 Bắc Ninh 2018-2019) Tìm số nguyên tố $p$ thỏa mãn ${{p}^{3}}-4p+9$ là số chính phương.

@Câu 147. [id1275] (HSG9 Ninh Bình 2018-2019) Tìm tất cả các bộ số nguyên tố ($p$; $q$; $r$) sao cho $pqr=p+q+r+160$.

@Câu 148. [id1276] (HSG9 Thái Bình 2018-2019)Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $\left( x;y;z \right)$sao cho $\dfrac{x+y\sqrt{2019}}{y+z\sqrt{2019}}$ là số hữu tỉ và ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$ là số nguyên tố.

@Câu 149. [id1277] (Ts10 chuyên tỉnh Bắc Ninh 2019-2020) Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $\sqrt{12{{n}^{2}}+1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $2\sqrt{12{{n}^{2}}+1}+2$ là số chính phương.

@Câu 150. [id1278] (Ts10 chuyên tỉnh Thái Nguyên 2019-2020) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho ${{p}^{2}}+59$ có đúng sáu ước số dương.

@Câu 151. [id1279] (Ts10 chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP 2019-2020) Cho tập hợp $X$ thỏa mãn tính chất sau: Tồn tại $2019$ tập con ${{A}_{1}},\,\,{{A}_{2}},...,\,\,{{A}_{2019}}$ của $X$ sao cho mỗi tập con ${{A}_{1}},\,\,{{A}_{2}},...,\,\,{{A}_{2019}}$ có đúng ba phần tử và hai tập ${{A}_{i}},\,\,{{A}_{j}}$ đều có đúng một phần tử chung với mọi $1\le i < j\le 2019$ . Chứng minh rằng a) Tồn tại $4$ tập hợp trong các tập hợp ${{A}_{1}},\,\,{{A}_{2}},...,\,\,{{A}_{2019}}$ sao cho giao của $4$ tập hợp này có đúng một phần tử. b) Số phần tử của $X$ phải lớn hơn hoặc bằng $4039$ .

@Câu 152. [id1280] (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tổng các ước nguyên dương của ${{p}^{2}}$là một số chính phương.

@Câu 153. [id1281] (Ts10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020)Trong một buổi tổ chức tuyên dương các học sinh có thành tích học tập xuất sắc của một huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bất kì đều bắt tay nhau, An chỉ bắt tay với những người mình quen. Biết rằng một cặp (hai người) chỉ bắt tay nhau không quá một lần và có tổng cộng 420 lần bắt tay. Hỏi bạn An có bao nhiêu người quen trong buổi tổ chức tuyên dương đó?

@Câu 154. [id1282] (Ts10 chuyên tỉnh Bắc Giang 2019-2020) Cho tập hợp $T$gồm $2019$ số nguyên dương đôi một khác nhau và số lớn nhất thuộc $T$ là $4036.$ Chứng minh rằng trong tập hợp $T$có hai số phân biệt mà số này là bội của số kia.

@Câu 155. [id1283] (Ts10 chuyên tỉnh Khánh Hòa 2019-2020) Cho $A={{2}^{0}}+{{2}^{1}}+{{2}^{2}}+...+{{2}^{2019}}$ và $B={{2}^{2020}}$ . Chứng minh rằng: $A,B$ là hai số tự nhiên liên tiếp.

@Câu 156. [id1284] (Ts10 chuyên tỉnh Lâm Đồng 2019-2020) Biết rằng $\underbrace{1111...1}_{2018\text{ ch }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{o}}\!\!\text{ so }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ 1}}\underbrace{5555...5}_{2018\text{ ch }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{o}}\!\!\text{ so }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ 5}}$ là tích của hai số lẻ liên tiếp. Tính tổng hai số lẻ đó.

@Câu 157. [id1285] (Ts10 chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Tìm một số tự nhiên có $4$ chữ số dạng $\overline{abcd}$ , biết tích hai số $\overline{ab}$ và $\overline{cd}$ bằng $380$ đồng thời nếu tăng số $\overline{ab}$ thêm $1$ đơn vị và giảm số $\overline{cd}$ đi $1$ đơn vị thì tích vẫn không đổi.

@Câu 158. [id1286] (Ts10 chuyên tỉnh Tây Ninh 2019-2020) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng $\overline{abcd}$ sao cho $\overline{abcd}={{k}^{2}}\left( k\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ và $\overline{ab}-\overline{cd}=1$(các chữ số tự nhiên $a,b,c,d$ có thể giống nhau).

@Câu 159. [id1287] (HSG9 An Giang 2018-2019) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết bình phương của số đó sau khi đã bỏ đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị cộng với số đó bằng 2419.

@Câu 160. [id1288] (HSG9 DAK LAK 2018-2019) Tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng số đó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.

@Câu 161. [id1289] (HSG9 Gia Lai 2018-2019) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 2019

@Câu 162. [id1290] (HSG9 Hà Nội 2018-2019) Cho $S=\left( 1-\dfrac{2}{2.3} \right)\left( 1-\dfrac{2}{3.4} \right)...\left( 1-\dfrac{2}{2020.2021} \right)$ là một tích của $2019$ thừa số. Tính $S$ (kết quả để dưới dạng phân số tối giản).

@Câu 163. [id1291] (HSG9 Hà Tĩnh 2018-2019) Tìm các số thực $a$ biết $a+\sqrt{15};\dfrac{1}{a}-\sqrt{15}$ đều là các số nguyên.

@Câu 164. [id1292] (HSG9 Phú Thọ 2018-2019) a. Chứng minh rằng trong năm số nguyên dương đôi một phân biệt tồn tại 4 số có tổng là hợp số. b. Bạn Thắng lần lượt chia số 2018 cho $1,\,\,2,\,\,3,...,\,\,2018$ rồi viết ra 2018 số dư tương ứng, sau đó bạn Việt chia số 2019 cho $1,\,\,2,\,\,3,...,\,\,2019$ rồi viết ra 2019 số dư tương ứng. Hỏi ai có tổng số dư lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu.

@Câu 165. [id1293] (HSG9 Sóc Trăng 2018-2019) Chứng minh rằng tổng các chữ số của một số chính phương bất kỳ không thể bằng$2019$.

@Câu 166. [id1294] (HSG9 Tiền Giang 2018-2019) Với mỗi số thực $x$ , ta định nghĩa phần nguyên của $x$ , kí hiệu $\left[ x \right]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ . Hãy tìm phần nguyên của: $B=\sqrt{{{x}^{2}}+\sqrt{4{{x}^{2}}+\sqrt{36{{x}^{2}}+10x+3}}}$ trong đó $x$ là số nguyên dương.

@Câu 167. [id1295] (HSG9 Tiền Giang 2018-2019) 1. Tìm số tự nhiên $n$ biết rằng khi bỏ đi ba chữ số tận cùng bên phải của nó thì được một số mới có giá trị bằng $\sqrt[3]{n}$ . 2. Tìm năm số thực dương sao cho mỗi số bằng bình phương của tổng bốn số còn lại.