Phương trình trong các đề thi học sinh giỏi

@Câu 1. [id2044] (HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Giải phương trình: $({{x}^{2}}-x-2)\sqrt{x-1}=0$ .

@Câu 2. [id2045] (HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) Giải phương trình:$\sqrt{3x+3}-\sqrt{5-2x}-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+10x-26=0$

@Câu 3. [id2046] (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Phương trình ${{x}^{3}}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$ có ba nghiệm phân biệt. Tính tổng các nghiệm đó.

A. $2$ .
B. $1$ .
C. $0$.
D. $-1+\sqrt{5}$ .

@Câu 4. [id2047] (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) ${{\log }_{3}}\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}(1-2x)+2x=1-\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$

@Câu 5. [id2048] (HSG12 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Cho phương trình sau với $m$ là tham số thực $\left( {{x}^{2}}-2x \right){{\log }^{2}}_{2019}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2011}+1=m\left[ \sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}-2x}{8}}{{\log }_{2019}}({{x}^{2}}-2x+2011)-\dfrac{1}{4} \right]$ Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn $1\le \left| x-1 \right|\le 3$ .

@Câu 6. [id2049] (HSG12 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\left\{ \begin{align} & {{2019}^{x+y}}=\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)\left( \sqrt{{{y}^{2}}+1}+y \right)\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & 25{{x}^{2}}+9x\sqrt{9{{x}^{2}}-4}=2+\dfrac{18{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}+1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$

@Câu 7. [id2050] (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 )Cho các hàm số ${{f}_{0}}\left( x \right),{{f}_{1}}\left( x \right),{{f}_{2}}\left( x \right),...$ thỏa mãn: ${{f}_{0}}\left( x \right)=\ln x+\left| \ln x-2019 \right|-\left| \ln x+2019 \right|,{{f}_{n+1}}\left( x \right)=\left| {{f}_{n}}\left( x \right) \right|-1,\forall n\in \mathbb{N}$ . Số nghiệm của phương trình là

A. $6063$ .
B. $6059$ .
C. $6057$ .
D. $6058$ .

@Câu 8. [id2051] (HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -8\,;\,+\infty \right)$ để phương trình sau có nhiều hơn hai nghiệm phân biệt? ${{x}^{2}}+x\left( x-1 \right){{2}^{x+m}}+m=\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right){{.2}^{x-{{x}^{2}}}}$.

A. $6$.
B. $7$.
C. $5$.
D. $8$.

@Câu 9. [id2052] (HSG12 Tỉnh Đồng Nai 2018-2019) Giải phương trình ${{8.25}^{x}}-{{8.10}^{x}}-{{15.2}^{2x+1}}=0$ .

@Câu 10. [id2053] (HSG12 tỉnh Hưng Yên 2018-2019) Giải phương trình ${{\left( \dfrac{\sqrt{5}}{3} \right)}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{5}^{\cos 2x}}=\left| x-1 \right|+\left| x+5 \right|.$

@Câu 11. [id2054] (HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{3}^{{{x}^{2}}-2x+1-2\left| x-m \right|}}={{\log }_{{{x}^{2}}-2x+3}}\left( 2\left| x-m \right|+2 \right)$ có đúng ba nghiệm phân biệt:

A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 0.

@Câu 12. [id2055] (HSG10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Giải phương trình $2{{x}^{2}}+2x-3+3\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=0$.

@Câu 13. [id2056] (HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Cho phương trình ${{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-\left( m+2 \right){{.5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$, với $m$ là tham số. Giá trị nguyên dương lớn nhất của tham số $m$ để phương trình có nghiệm là

A. $5$ .
B. $26$ .
C. $25$ .
D. $6$ .

@Câu 14. [id2057] (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{2}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x$ có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left( 0;10 \right)?$

A. 101.
B. 100.
C. 102.
D. 103.

@Câu 15. [id2058] (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Tìm $m$ để phương trình ${{4}^{x}}-2\left( m+1 \right){{2}^{x}}+3m-8=0$ có hai nghiệm trái dấu.

A.$-1 < m < 9$. B. $m < \dfrac{8}{3}$ . C.$\dfrac{8}{3} < m < 9$. D. $m < 9$.

@Câu 16. [id2059] (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Giải phương trình ${{4}^{x+1}}+{{4}^{1-x}}=2\left( {{2}^{x+2}}-{{2}^{2-x}} \right)+8$

@Câu 17. [id2060] (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho phương trình ${{9}^{-\left| x-m \right|}}.{{\log }_{\sqrt[3]{3}}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)+{{3}^{-{{x}^{2}}+2x}}.{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}\left( 2\left| x-m \right|+2 \right)=0$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình có 3 nghiệm?

A. $1$.
B. $0$.
C. $3$.
D. $2$.

@Câu 18. [id2061] (HSG11 tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải phương trình: $x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-{{x}^{2}}+8x-7}+1.$

@Câu 19. [id2062] (HSG12 tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019) Chứng minh rằng phương trình $-x=\sqrt[3]{{{x}^{2}}-6x+3}$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ . Tính giá trị của biểu thức $T=\left( x_{1}^{3}+x_{1}^{2}+9 \right)\left( x_{2}^{3}+x_{2}^{2}+9 \right)\left( x_{3}^{3}+x_{3}^{2}+9 \right)$ .

@Câu 20. [id2063] (HSG10 Nam Tiền Hải Thái Bình 2018-2019) 1.Tính tổng các nghiệm của phương trình: $3{{x}^{2}}+15x+2\sqrt{{{x}^{2}}+5x+1}=2$ . 2.Giải phương trình $\left( \sqrt{x+3}-\sqrt{x+1} \right)\left( {{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3} \right)=2x$

@Câu 21. [id2064] (HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Cho ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-3x+a=0$ ; ${{x}_{3}}$ và ${{x}_{4}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-12x+b=0$. Biết rằng $\dfrac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{4}}}{{{x}_{3}}}$. Tìm a và b.

@Câu 22. [id2065] (HSG11 Thị Xã Quảng Trị năm 2018-2019) Cho ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$là hai nghiệm của phương trình: ${{x}^{2}}-3x+a=0$, ${{x}_{3}}$ và ${{x}_{4}}$ là hai nghiệm của phương trình: ${{x}^{2}}-12x+b=0$. Biết rằng ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm $a,b$

@Câu 23. [id2066] (HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}-3x-1}+7=2x$

@Câu 24. [id2067] (HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Giải phương trình ${{\left( x-2 \right)}^{3}}+2.\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}=3\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)$ .

@Câu 25. [id2068] (HSG12 tỉnh GIA LAI 2018-2019) Giải các phương trình sau trên tập hợp các số thực: 1) ${{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+9x=2\sqrt{{{x}^{2}}-3x}$. 2) ${{7}^{x}}-6{{\log }_{7}}\left( 6x+1 \right)-1=0$.

@Câu 26. [id2069] (HSG12 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) Giải phương trình sau trên tập số thực $\mathbb{R}$: ${{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+9x+12=\left( x-3 \right)\left( x-2+5\sqrt{x-3} \right)\left( \sqrt{x-3}-1 \right)$.

@Câu 27. [id2070] (HSG12 tỉnh Thái Nguyên năm 2018-2019) Giải phương trình ${{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+9x+12=\left( x-3 \right)\left( x-2+5\sqrt{x-3} \right)\left( \sqrt{x-3}-1 \right)$.

@Câu 28. [id2071] (HSG10 HÀ NAM 2018-2019)Giải phương trình $\left( x+1 \right)\sqrt{6{{x}^{2}}-6x+25}=23x-13$. .

@Câu 29. [id2072] (HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Chứng minh rằng phương trình $4{{x}^{5}}+2018x+2019=0$ có duy nhất một nghiệm thực.

@Câu 30. [id2073] (HSG12 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Giải phương trình $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}$.

@Câu 31. [id2074] (HSG12 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Giải phương trình $2x+3+\left( x+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+6}+\left( x+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2x+9}=0$ $\left( x\in \mathbb{R} \right)$.

@Câu 32. [id2075] (HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội năm 2018-2019)Giải phương trình $4{{x}^{2}}+12x\sqrt{x+1}=27\left( x+1 \right)$ .

@Câu 33. [id2076] (HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) Giải phương trình$\sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-3}=\sqrt{5x+4}$

@Câu 34. [id2077] (HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$. Chứng minh phương trình $f(x)+\left[ f(1)-f(0) \right]x=f(1)$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left[ 0;1 \right]$.

@Câu 35. [id2078] (HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội năm 2018-2019) Tìm $m$ để phương trình $m{{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x+2m-7=0$ ($m$ là tham số) có hai nghiệm ${{x}_{1}}\,,\,{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\left| {{x}_{1}}\,-\,{{x}_{2}} \right|=\dfrac{4}{3}$ .

@Câu 36. [id2079] (HSG11 Thị Xã Quảng Trị năm 2018-2019)Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: $m\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}+2 \right)=2\sqrt{1-{{x}^{4}}}+\sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}$.

@Câu 37. [id2080] (HSG10 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Cho phương trình ${{\left( {{x}^{2}}+ax+1 \right)}^{2}}+a\left( {{x}^{2}}+ax+1 \right)+1=0,$ với $a$ là tham số. Biết rằng phương trình có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng $a > 2$.

@Câu 38. [id2081] (HSG11 Bắc Ninh 2018-2019) Cho tam thức $f\left( x \right)={{x}^{2}}+bx+c$. Chứng minh rằng nếu phương trình $f\left( x \right)=x$ có hai nghiệm phân biệt và ${{b}^{2}}-2b-3 > 4c$thì phương trình $f\left[ f\left( x \right) \right]=x$ có bốn nghiệm phân biệt.

@Câu 39. [id2082] (HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Cho phương trình $\left( m+2 \right)\sqrt{x\left( {{x}^{2}}+1 \right)}-{{x}^{2}}+\left( m-6 \right)x-1=0\,\,\,\left( 1 \right)$. Tìm các giá trị của $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm thực.

@Câu 40. [id2083] (HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Cho đa thức $f\left( x \right)={{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+ax+1$ có nghiệm thực. Chứng minh rằng ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4b+1 > 0$.

@Câu 41. [id2084] (HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\left| {{\tan }^{4}}x-\dfrac{2}{{{\cos }^{2}}x} \right|=m$ có 6 nghiệm phân biệt thuộc $\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)$ là

A. $m=3$
B. $2 < m < 3$ C. $2\le m\le 3$
D. $m=2$

@Câu 42. [id2085] (HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Cho phương trình ${{x}^{2}}+7+m\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=\sqrt{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}+m\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-2 \right)$. Biết tập hợp tất cả các giá trị của $m$để phương trình đã cho có nghiệm là $\left( -a\,;\,b \right)$. Tính$P=b+a$

A. $-\dfrac{26}{3}$.
B. $\dfrac{13}{6}$.
C.$\dfrac{13}{3}$.
D. $\dfrac{13}{2}$.

@Câu 43. [id2086] (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $\left( m-5 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+m=0$ có 2 nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa ${{x}_{1}} < 2 < {{x}_{2}}$?

A. $m\ge 5$ .
B. $m < \dfrac{8}{3}$ . C. $\dfrac{8}{3}\le m\le 5$ .
D. $\dfrac{8}{3} < m < 5$ .

@Câu 44. [id2087] (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+(2m-1)=0$ có 4 nghiệm thực phân biệt là:

A. $\left( 1;+\infty \right)$.
B. $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$.
C. $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
D. $\mathbb{R}$.

@Câu 45. [id2088] (HSG10 Kim Liên 2018-2019) Cho phương trình $\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=\sqrt{18+3x-{{x}^{2}}}+m$, (1), (với $m$là tham số). a)Giải phương trình (1) khi $m=3$. b)Tìm tất cả các giá trị của $m$để phương trình (1) có nghiệm.

@Câu 46. [id2089]

@Câu 47. [id2090] (HSG10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho hai phương trình: ${{x}^{2}}-2x-{{a}^{2}}+1=0$ $\left( 1 \right)$ và ${{x}^{2}}-2\left( a+1 \right)x+a\left( a-1 \right)=0$ $\left( 2 \right)$. a) Tìm $a$ để phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi ${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ và ${{x}_{3}}$; ${{x}_{4}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$ với ${{x}_{3}} < {{x}_{4}}$. Tìm tất cả các giá trị $a$ để ${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}\in \left( {{x}_{3}};\,\,{{x}_{4}} \right)$.

@Câu 48. [id2091] (HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số $m$: $\sqrt{x+2 \sqrt{m x-m^{2}}}+\sqrt{x-2 \sqrt{m x-m^{2}}} \leq 2 \sqrt{m}$ với $m > 0$

@Câu 49. [id2092] (HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m\,\,\left( m\in R \right)$ để phương trình: ${{x}^{4}}-\left( 3m+1 \right){{x}^{2}}+6m-2=0$ có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn $-4$.

@Câu 50. [id2093] (HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) . Giả sử phương trình bậc hai ẩn $x$ ($m$ là tham số): ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-{{m}^{3}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}\le 4$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $P=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( 3{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+8 \right)$.

@Câu 51. [id2094] (HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho bốn số thực $p, q, m,n$ thỏa mãn hệ thức ${{\left( q-n \right)}^{2}}+\left( p-m \right)\left( pn-qm \right) < 0$ (1). Chứng minh rằng 2 phương trình ${{x}^{2}}+px+q=0$ (2) và ${{x}^{2}}+mx+n=0$ (3) đều có các nghiệm phân biệt và các nghiệm của chúng nằm xen kẽ nhau khi biểu diễn trên trục số.

@Câu 52. [id2095] (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho hàm số đa thức bậc ba $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Với $m$ là tham số thực bất kì thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]$ , phương trình $f\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2019x \right)={{m}^{2}}-2m+\dfrac{3}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 2
B. 1
C. 4
D. 3.

@Câu 53. [id2096] (HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội năm 2018-2019) Cho phương trình ${{x}^{4}}-2\left( m+2 \right){{x}^{2}}+2m+3=0$ ( $m$ là tham số). Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để phương trình có 4 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}^{4}\text{+}{{x}_{2}}^{4}+{{x}_{3}}^{4}+{{x}_{4}}^{4}=52$ .

@Câu 54. [id2097] Giải phương trình $\sqrt{3x-4}-\sqrt{x+2}=x-3$ .

@Câu 55. [id2098] (HSG cấp tỉnh Hà Tĩnh 2012-2013) Giải các phương trình sau: $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+7}+{{x}^{2}}-3x-2=0$.

@Câu 56. [id2099] (HSG Lớp 10 – SGD Hà Tĩnh - Năm 2016 - 2017) Giải phương trình $\sqrt{x+1}-\sqrt{2-2x}=\dfrac{6x-2}{\sqrt{9{{x}^{2}}+4}}$ .

@Câu 57. [id2100] (HSG CẤP TỈNH - THANH HÓA- 2017-2018) Giải bất phương trình $\sqrt{4{{x}^{2}}+5x+1}+2\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}\ge x+3\,\,\,(1).$

@Câu 58. [id2101] (HSG Khối 10 - Hải Dương - 2017 – 2018) Giải phương trình $\left( \sqrt{x+3}-\sqrt{x+1} \right)\left( {{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3} \right)=2x$

@Câu 59. [id2102] Giải phương trình $(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})({{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3})=2x$

@Câu 60. [id2103] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Trần Phú – Thanh Hóa – 2012 - 2013) Giảiphương trình sau: ${{x}^{2}}+\sqrt{x+2013}=2013$

@Câu 61. [id2104] Giải phương trình: ${{x}^{2}}+8=3\sqrt{{{x}^{3}}+8}$.

@Câu 62. [id2105] Giải phường trình $2{{x}^{2}}-5x-7+(x-1)\sqrt{x+1}=0$

@Câu 63. [id2106] (HSG10_OLYMPIC THÁNG 4_ĐỒNG NAI_2017-2018) Giải phương trình ${{x}^{2}}+8=3\sqrt{{{x}^{3}}+8}$

@Câu 64. [id2107] (HSG10_SỞ GD&ĐT_QUẢNG NAM_2016-2017) Giải phương trình $2{{x}^{2}}-5x-7+(x-1)\sqrt{x+1}=0$ .

@Câu 65. [id2108] (THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Giải phương trình: ${{\left( 4{{x}^{3}}-x+3 \right)}^{3}}-{{x}^{3}}=\dfrac{3}{2}$. Đặt $y=4{{x}^{3}}-x+3$. Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{align} & 2{{y}^{3}}-2{{x}^{3}}=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ & 4{{x}^{3}}-x+3=y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right.$. Từ (1) và (2) ta có: $2{{x}^{3}}+2{{y}^{3}}-x-y=0$ $\Leftrightarrow \left( x+y \right)\left( 2{{x}^{2}}-2xy+2{{y}^{2}}-1 \right)=0$. Trường hợp 1:$y=-x$. Thay vào (1) ta có: $-4{{x}^{3}}+3=0$ $\Leftrightarrow x=-\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}}$. Trường hợp 2: $2{{x}^{2}}-2xy+2{{y}^{2}}-1=0$ $\Rightarrow {{\left( 2x-y \right)}^{2}}+3{{y}^{2}}-2=0$ $\Rightarrow {{y}^{2}}\le \dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow \left| y \right|\le \sqrt{\dfrac{2}{3}}$ $\Rightarrow {{y}^{3}}\le \sqrt{\dfrac{8}{27}}$. Tương tự: $-{{x}^{3}}\le \sqrt{\dfrac{8}{27}}$. Khi đó: $2{{y}^{3}}-2{{x}^{3}}\le 4\sqrt{\dfrac{8}{27}} < 3$ ( Vô lý). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: $x=-\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}}$.

@Câu 66. [id2109] (HSG cấp trường Yên Định 1 2017-2018) 2. Giải phương trình: $5\sqrt{x}+\dfrac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\dfrac{1}{2x}+4.$

@Câu 67. [id2110] (HSG trường THPT Nga Sơn-Thanh Hóa 2017-2018) Giải phương trình : $x\left( 8{{x}^{2}}-36x+53 \right)=25+\sqrt[3]{3x-5}$.

@Câu 68. [id2111] (HSG 11 – HÀ NAM 2016-2017) Giải phương trình sau trên tập số thực: $8{{x}^{3}}-4x-1=\sqrt[3]{6x+1}$ .

@Câu 69. [id2112] (HSG11-NGHỆ AN- 2015-2016) Giải phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}-1=\sqrt{\dfrac{5{{x}^{2}}-2}{6}}$.

@Câu 70. [id2113] (HSG cấp tỉnh Hà Nam) Giải phương trình $\dfrac{\sqrt{1+{{x}^{3}}}}{{{x}^{2}}+2}=\dfrac{2}{5}$ .

@Câu 71. [id2114] (HSG 11 – HÀ NAM 2009-2010) Giải phương trình $\dfrac{\sqrt{1+{{x}^{3}}}}{{{x}^{2}}+2}=\dfrac{2}{5}$. Hướng dẫn giải Đặt $u=\sqrt{x+1}$ , $v=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$ ($u,v$ không âm) Ta được $5uv=2\left( {{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{5u}{v}=2{{\left( \dfrac{u}{v} \right)}^{2}}+2$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \dfrac{u}{v}=2 \\ & \dfrac{u}{v}=\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \right.$ TH1 $\dfrac{u}{v}=2$ vô nghiệm TH2 $\dfrac{u}{v}=2$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{align} & x > -1 \\ & x=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2} \\ & x=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2} \\ \end{align} \right.$ Nghiệm của phương trình là $x=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2}$ , $x=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}$.

@Câu 72. [id2115] (HSG10_THPT-PĐP_2017-2018) 2. Giải phương trình $\dfrac{2}{3{{x}^{2}}-4x+1}+\dfrac{13}{3{{x}^{2}}+2x+1}=\dfrac{6}{x}$.

@Câu 73. [id2116] Tìm tất cả các nghiệm thuộc $[0;1]$ của phương trình $8x(2{{x}^{2}}-1)(8{{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+1)=1\,\,(1)$

@Câu 74. [id2117] Trên đoạn $[0;1]$, phương trình $8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1$ có bao nhiêu nghiệm?

@Câu 75. [id2118] Giải phương trình $3\sqrt[3]{2x-1}-4\sqrt{5-x}+5=0$.

@Câu 76. [id2119] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & \sqrt{2-x}={{2}^{y+2}} \\ & 4\sqrt{1+x}+xy\sqrt{4+{{y}^{2}}}=0. \\ \end{align} \right.$

@Câu 77. [id2120] (HSG cấp trường Cao Bá Quát 2009-2010) Chứng minh rằng phương trình $\sqrt{4-x}+\sqrt{4-2x}+\sqrt{4-3x}=6$ có đúng một nghiệm.

@Câu 78. [id2121] HSG LỚP 12 - SỞ BẮC GIANG- 2016-2017) Giải phương trình $\sqrt[3]{x+3}+\sqrt[3]{x+2}=\sqrt[3]{2{{x}^{2}}+4x+3}+\sqrt[3]{2{{x}^{2}}+4x+2}$ , $(x\in \mathbb{R})$.

@Câu 79. [id2122] (HSG10_OLYMPIC THÁNG 4 ĐỒNG_NAI_2017-2018) Ở một công ty có $10$ xe đưa rước nhân viên xuất phát từ cùng một bến để đi đến công ty. Mỗi tài xế có hai lựa chọn là : $(1)$ Đi quốc lộ không ngại kẹt xe nhưng phải đi vòng, thời gian tốn là $40$ phút. $(2)$ Đi nội thành, đường ngắn hơn và chỉ mất $15$ phút nếu một xe chạy, nhưng do đường nhỏ nên nếu có thêm một xe nữa cùng chạy ( chỉ xét xe của công ty này) thì thời gian di chuyển của các xe sẽ cùng tăng 5 phút, cứ như thế, thời gian sẽ tăng tỉ lệ thuận với số xe tăng thêm. Hỏi các tài xế phải thảo luận và chọn ra bao nhiêu xe đi trong nội thành để tổng thời gian các xe di chuyển là ít nhất ?

@Câu 80. [id2123] (HSG10_Sở GD&ĐT_ĐỒNG NAI _2013-2014) Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}+x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}-x+2}=2x+1$ (với $x\in R$)

@Câu 81. [id2124] (HSG trường THPT Cẩm Thủy-Thanh Hóa 2016-2017) Giải phương trình : $\sqrt{\dfrac{{{x}^{3}}+1}{x+3}}+\sqrt{x+1}=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{x+3}$

@Câu 82. [id2125] (HSG11 Cao Bằng 2011 - 2012)Giải phương trình $\sqrt{3+4\sqrt{6}-\left( 16\sqrt{3}-8\sqrt{2} \right)x}=4x-\sqrt{3}$ .

@Câu 83. [id2126] (HSG cấp trường Dương Xá – Hà Nội) Cho phương trình: ${{x}^{3}}-4x+1=0$ (4) 1) Chứng minh rằng phương trình (4) có đúng 3 nghiệm phân biệt. 2) Giả sử ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$,${{x}_{3}}$ là 3 nghiệm của phương trình trên. Tính $x_{1}^{8}+x_{2}^{8}+x_{3}^{8}$.

@Câu 84. [id2127] (HSG Cao Bằng 2017-2018) Giải phương trình $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+x}=1$.

@Câu 85. [id2128] (HSG tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Giải phương trình sau: $5\left( 1+\sqrt{1+{{x}^{3}}} \right)={{x}^{2}}\left( 4{{x}^{2}}-25x+18 \right),\forall x\ge 0$.

@Câu 86. [id2129] (CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC 2017 - 2018) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & \sqrt{4{{x}^{2}}+\left( 4x-9 \right)\left( x-y \right)}+\sqrt{xy}=3y\,\,\,\, \\ & 4\sqrt{\left( x+2 \right)\left( y+2x \right)}=3\left( x+3 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \end{align} \right.$

@Câu 87. [id2130] (HSG cấp tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) a)Giải phương trình sau: $5\left( 1+\sqrt{1+{{x}^{3}}} \right)={{x}^{2}}\left( 4{{x}^{2}}-25x+18 \right),\forall x\ge 0$.

@Câu 88. [id2131] (HSG Quảng Nam 2016 2017) a) Giải phương trình $2{{x}^{2}}-5x-7+(x-1)\sqrt{x+1}=0$ .

@Câu 89. [id2132] (CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC 2017 - 2018) Giải phương trình $2{{x}^{2}}-({{x}^{2}}+x-5).\sqrt{x-\dfrac{5}{x}}=10-2x$.

@Câu 90. [id2133] (HSG cấp tỉnh Hà Nội 2016-2017) Giải phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{3}}}-6x=0$ .

@Câu 91. [id2134] (HSG cấp tỉnh Long An 2016-2017) Giải phương trình sau trên tập số thực: $2({{x}^{2}}-3x+2)=3\sqrt{{{x}^{3}}+8}$

@Câu 92. [id2135] Giải phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{3}}}-6x=0\left( 1 \right)$ .

@Câu 93. [id2136] (HSG12 Hà Nội – năm 2017-2018) Giải phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{3}}}-6x=0\left( 1 \right)$ .

@Câu 94. [id2137] (HSG Tỉnh ĐĂKLẮC 2017-2018) Giải phương trình $8{{x}^{3}}-17{{x}^{2}}+10x-2=2\sqrt[3]{5{{x}^{2}}-1}$ .

@Câu 95. [id2138] (HSG TỈNH LỚP 12 SỞ BẮC GIANG NĂM 2016 – 2017) Giải phương trình $\sqrt[3]{x+3}+\sqrt[3]{x+2}=\sqrt[3]{2x^2+4x+3}+\sqrt[3]{2x^2+4x+2}, (\forall x\in\mathbb{R})$.

@Câu 96. [id2139] (HỌC SINH GIỎI QUẢNG NGÃI 2016-2017)Giải phương trình: $\sqrt{\left( x-2 \right)\left( 4-x \right)}+\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=\dfrac{x-1}{2}+\sqrt{x+1}\,\,\left( x\in \mathbb{R} \right)$.

@Câu 97. [id2140] (HSG Quảng Ngải 16-17) Giải phương trình: $\sqrt{\left( x-2 \right)\left( 4-x \right)}+\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=\dfrac{x-1}{2}+\sqrt{x+1}\,\,\left( x\in \mathbb{R} \right)$.

@Câu 98. [id2141] (HSG cấp tỉnh Bắc Giang 2016-2017) Giải phương trình $\sqrt[3]{x+3}+\sqrt[3]{x+2}=\sqrt[3]{2{{x}^{2}}+4x+3}+\sqrt[3]{2{{x}^{2}}+4x+2}$ .

@Câu 99. [id2142] (HSG tỉnh Lào Cai 2016-2017) Giải phương trình: $\sqrt{2{{x}^{2}}+5x}-\sqrt{6{{x}^{2}}+11x-10}=3\left( \sqrt{x}-\sqrt{3x-2} \right)$ .

@Câu 100. [id2143] (HSG cấp tỉnh lớp 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Giải bất phương trình $\sqrt{4{{x}^{2}}+5x+1}+2\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}\ge x+3\,\,\,(1).$

@Câu 101. [id2144] (HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Giải bất phương trình $2+3\sqrt{{{x}^{2}}+x}.\sqrt{x-2}\le 2\left( {{x}^{2}}-3x \right)$.

@Câu 102. [id2145] (HSG cấp tỉnh Hà Nam 2017-2018) Giải bất phương trình sau trên tập số thực ${{x}^{2}}+9+{{\log }_{2}}\left( \dfrac{16{{x}^{2}}+96x+208}{\sqrt{12x+16}+\sqrt{45x+81}} \right)\le 2\sqrt{3x+4}-6x+3\sqrt{5x+9}$.

@Câu 103. [id2146] (HSG cấp thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017) Tìm $m$ để phương trình sau có đúng 4 nghiệm thực phân biệt: $(x-4)^{2}=m(\sqrt{1+x+x^{2}}-3 \sqrt{1-x}+4)+6 \sqrt{1-x^{3}}+13$.

@Câu 105. [id2148] (HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm dương phân biệt $x^{3}-3(m+1) x^{2}+3(2 m+1) x+2 m^{2}-9 m-5=0$

@Câu 106. [id2149] (THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Tìm $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-2mx-2m+15=0$ có hai nghiệm dương phân biệt.

@Câu 107. [id2150] (HSG cấp trường Yên Định 1 2017-2018) 1. Cho phương trình : $x^2-mx+m-1=0$.Gọi $x_1$ và $x_2$ là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: $B=\frac{2 x_{1} x_{2}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2\left(x_{1} x_{2}+1\right)}$

@Câu 108. [id2151] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Cẩm Thủy 1 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Tìm $m$ để phương trình: $-{{x}^{2}}+2x+4\sqrt{(x+1)(3-x)}=m-3$ có nghiệm.

@Câu 109. [id2152] (HSG10_THPT-PĐP_2017-2018) 1.Giải và biện luận phương trình: $\dfrac{\left( m+1 \right)\left( m+2 \right)x}{2x+1}=m+2$.

@Câu 110. [id2153] (HSG11 – THPT Hậu Lộc 4 – Thanh Hóa – 2014 – 2015) Tìm m để phương trình: ${{x}^{3}}-2(m+1){{x}^{2}}+(5m-1)x-2m+2=0$ có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

@Câu 111. [id2154] Tìm $m$ để phương trình ${{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+2m-1=0$ có $4$ nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

@Câu 112. [id2155] Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\sqrt{\left| \dfrac{2{{x}^{2}}-x+2}{{{x}^{2}}-2mx+1} \right|-1}$ có tập xác định là $\mathscr{R}$