\maid{[tc24]}[T12/505 Toán học & tuổi trẻ số 505, tháng 7 năm 2019]%[Nguyễn Thị Chúc, dự án EX_Tapchi15] Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$. Điểm $M$ thuộc đoạn $BC$. $I_1$, $I_2$ theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABM,ACM$. $N$, $P$, $Q$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $AM$, $AB$, $AC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $AI_1I_2$. $J_1$, $J_2$ theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $APN$, $AQN$. Chứng minh rằng tâm đẳng phương của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AI_1I_2$, $AJ_1J_2$, $MI_1I_2$ thuộc $BC$.

Lời giải

Ta cần có hai bổ đề.
Cho tam giác $ABC$, $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. $M$ là giao điểm thứ hai của $AI$ và $(O)$. Khi đó $MB=MC=MI$. Cho hai đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ cắt nhau tại $A$, $B$ và các đường thẳng $m,n$ cùng đi qua $B$. $M_1$, $M_2$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $(O_1)$, $(O_2)$ và $m$. $N_1$, $N_2$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $(O_1)$, $(O_2)$ và $n$. Khi đó các tam giác $AM_1M_2$, $AN_1N_2$ đồng dạng cùng hướng. Phép chứng minh các bổ đề này rất đơn giản, không trình bày ở đây.

Trở lại bài toán trên.
Gọi $X$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AI_1I_2$, $AJ_1J_2$; $V_1$, $V_2$ theo thứ tự là giao điểm của $I_1I_2$ và các đường thẳng $AX,AM$.
Áp dụng bổ đề $1$ cho các tam giác $APN$, $AQN$ và đường tròn $AI_1I_2$, ta có $$J_1I_1=NI_1, J_2I_2=NI_2.$$ Theo bổ đề $2$, các tam giác $XI_1J_1$ và $XI_2J_2$ đồng dạng cùng hướng. Vậy $$\dfrac{XI_1}{XI_2}=\dfrac{J_1I_1}{J_2I_2}=\dfrac{NI_1}{NI_2}.$$ Điều đó có nghĩa là tứ giác $XI_1NI_2$ điều hòa.
Do đó $(V_1V_2I_1I_2)=A(XNI_1I_2)=-1$.
Từ đó, chú ý rằng $V_2$ là tâm vị tự trong của $(I_1)$, $(I_2)$, suy ra $V_1$ là tâm vị tự ngoài của $(I_1)$, $(I_2)$.
Kết hợp với $BC$ là tiếp tuyến chung ngoài của $(I_1)$, $(I_2)$, suy ra $BC$ đi qua $V_1$.
Từ đó, chú ý rằng $V_1$ chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn $(AI_1I_2)$, $(AJ_1J_2)$, $(MI_1I_2)$, suy ra điều phải chứng minh.