Lời giải
Ta cần có hai bổ đề.
Cho tam giác ABC, (O) là đường tròn ngoại tiếp, I là tâm đường tròn nội tiếp. M là giao điểm thứ hai của AI và (O). Khi đó MB=MC=MI. Cho hai đường tròn (O_1), (O_2) cắt nhau tại A, B và các đường thẳng m,n cùng đi qua B. M_1, M_2 theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O_1), (O_2) và m. N_1, N_2 theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O_1), (O_2) và n. Khi đó các tam giác AM_1M_2, AN_1N_2 đồng dạng cùng hướng. Phép chứng minh các bổ đề này rất đơn giản, không trình bày ở đây. Trở lại bài toán trên.
Gọi X là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp các tam giác AI_1I_2, AJ_1J_2; V_1, V_2 theo thứ tự là giao điểm của I_1I_2 và các đường thẳng AX,AM.
Áp dụng bổ đề 1 cho các tam giác APN, AQN và đường tròn AI_1I_2, ta có J_1I_1=NI_1, J_2I_2=NI_2. Theo bổ đề 2, các tam giác XI_1J_1 và XI_2J_2 đồng dạng cùng hướng. Vậy \dfrac{XI_1}{XI_2}=\dfrac{J_1I_1}{J_2I_2}=\dfrac{NI_1}{NI_2}. Điều đó có nghĩa là tứ giác XI_1NI_2 điều hòa.
Do đó (V_1V_2I_1I_2)=A(XNI_1I_2)=-1.
Từ đó, chú ý rằng V_2 là tâm vị tự trong của (I_1), (I_2), suy ra V_1 là tâm vị tự ngoài của (I_1), (I_2).
Kết hợp với BC là tiếp tuyến chung ngoài của (I_1), (I_2), suy ra BC đi qua V_1.
Từ đó, chú ý rằng V_1 chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (AI_1I_2), (AJ_1J_2), (MI_1I_2), suy ra điều phải chứng minh.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét