Câu 1. (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên $m$ trong khoảng $\left( -2018;\,2018 \right)$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+x-3{{m}^{2}}$ cắt đường thẳng $y=x+1$ tại ba điểm phân biệt. Tính số phần tử của $S.$

Họ và tên thí sinh dự thi :
Học sinh trường :


Câu hỏi Câu 1. (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên $m$ trong khoảng $\left( -2018;\,2018 \right)$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+x-3{{m}^{2}}$ cắt đường thẳng $y=x+1$ tại ba điểm phân biệt. Tính số phần tử của $S.$
A. $2016$.
B. $2018$.
C. $4034$.
D. $2020$.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Diệp ; Fb: Nguyễn Ngọc Diệp
Chọn A
Xét phương trình hoành độ: ${{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+x-3{{m}^{2}}=x+1$ $\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-3{{m}^{2}}-1=0$ (1)
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-3{{m}^{2}}-1$ .
Yêu cầu đề bài tương đương phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt, hay đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Muốn vậy hàm số $y=f\left( x \right)$ có hai cực trị và ${{y}_{\text{CD}}}.{{y}_{\text{CT}}} < 0$
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6mx,\ {y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2m \\ \end{align} \right.$. Để $f\left( x \right)$ có 2 cực trị thì ${f}'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt, tức là $m\ne 0$ .
$y\left( 0 \right)=-3{{m}^{2}}-1$ , $y\left( 2m \right)=-4{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}-1=\left( m+1 \right)\left( -4{{m}^{2}}+m-1 \right)$ .
$y\left( 0 \right).y\left( 2m \right) < 0\Leftrightarrow \left( -3{{m}^{2}}-1 \right)\left( m+1 \right)\left( -4{{m}^{2}}+m-1 \right) < 0$ (2),
Vì $-3{{m}^{2}}-1 < 0$ và $-4{{m}^{2}}+m-1 < 0$ với mọi $m$ nên $\left( 2 \right)\Leftrightarrow m+1 < 0\Leftrightarrow m < -1$ (thỏa mãn $m\ne 0$ ).
Kết hợp với điều kiện đề bài $\Rightarrow m\in \left\{ -2,-3,-4,.....,-2017 \right\}$
Vậy số phần tử của $S$ là 2016.

Bạn chọn thời gian

CÁC THÍ SINH ĐÃ THAM GIA