Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+5,$ $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

Câu 2a. [HSG Bình Thuận 2018-2019] Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+5,$ $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

Lời giải

$\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}},$ ta có ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+5\Leftrightarrow {{u}_{n+1}}+5=2\left( {{u}_{n}}+5 \right)$.

            Đặt ${{w}_{n}}={{u}_{n}}+5,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

Khi đó ${{w}_{n+1}}=2{{w}_{n}},\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

Do đó $\left( {{w}_{n}} \right)$ là cấp số nhân có ${{w}_{1}}={{u}_{1}}+5=7,$ công bội $q=2.$

Suy ra ${{w}_{n}}={{w}_{1}}.{{q}^{n-1}}={{7.2}^{n-1}},\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

                Vậy ${{u}_{n}}={{7.2}^{n-1}}-5,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$