Dãy số trong các đề thi HSG toán 12 năm 2017-2018

Câu 1.(HSG Tỉnh ĐĂKLẮC 2017-2018) Cho dãy số $({{x}_{n}})$ được xác định như sau : $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}=2 \\
& {{x}_{n+1}}=\sqrt{4+\sqrt{8{{x}_{n}}+1}}\ \ ,\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\
\end{align} \right.$ .
1) Chứng minh rằng : $2\le {{x}_{n}}\le 3\ ,\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ .

Câu 2.(HSG tỉnh Lào Cai 2016-2017)
Cho dãy số thực dương $\left( {{x}_{n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}=5 \\
& {{x}_{n+1}}=\sqrt{3}+\dfrac{{{x}_{n}}}{\sqrt{x_{n}^{2}-1}},\forall n\ge 1 \\
\end{align} \right.$ .
a) Chứng minh rằng $\sqrt{3} < {{x}_{n}}\le 5$ , $\forall n\ge 1$ .
Câu 3.(HSG cấp tỉnh Hà Nội 2016-2017) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi: ${{u}_{1}}=1;\text{ }{{u}_{n}}=u_{_{n-1}}^{2}+2{{u}_{n-1}},\text{ }\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2$ .
1) Chứng minh $\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy số tăng.

Câu 4.Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi: ${{u}_{1}}=1;\text{ }{{u}_{n}}=u_{_{n-1}}^{2}+2{{u}_{n-1}},\text{ }\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.$ .
Chứng minh $\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy số tăng.

Câu 5.[HSG12 Hà Nội – năm 2017-2018] Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi: ${{u}_{1}}=1;\text{ }{{u}_{n}}=u_{_{n-1}}^{2}+2{{u}_{n-1}},\text{ }\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.$ .
Chứng minh $\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy số tăng.

Câu 6.(HSG cấp tỉnh Long An 2016-2017) Cho dãy số thực $({{u}_{n}})$ xác định bởi$:\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=\dfrac{1}{3} \\
& {{u}_{n+1}}=\dfrac{(n+1){{u}_{n}}}{3n} \\
\end{align} \right.(n\in {{\mathbb{N}}^{*}})$.
Chứng minh dãy số $({{u}_{n}})$ là dãy số giảm.

Câu 7.(HSG cấp tỉnh Hà Nội 2016-2017) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi: ${{u}_{1}}=1;\text{ }{{u}_{n}}=u_{_{n-1}}^{2}+2{{u}_{n-1}},\text{ }\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2$ .
2) Xác định công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$.

Câu 8.Cho dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ định bởi ${{v}_{1}}=1$ và ${{v}_{n+1}}=\dfrac{\sqrt{1+v_{_{n}}^{2}}-1}{{{v}_{n}}}$ với mọi $n\ge 1$ .
Tìm công thức tính ${{v}_{n}}$ theo $n.$

Câu 9.(HSG¬ K12 Bình Thuận 2016 2017) Cho dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ định bởi ${{v}_{1}}=1$ và ${{v}_{n+1}}=\dfrac{\sqrt{1+v_{_{n}}^{2}}-1}{{{v}_{n}}}$ với mọi $n\ge 1$ .
Tìm công thức tính ${{v}_{n}}$ theo $n$ .

Câu 10.Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi: ${{u}_{1}}=1;\text{ }{{u}_{n}}=u_{_{n-1}}^{2}+2{{u}_{n-1}},\text{ }\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.$ .
Xác định công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$.

Câu 11.[HSG12 Hà Nội – năm 2017-2018] Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi: ${{u}_{1}}=1;\text{ }{{u}_{n}}=u_{_{n-1}}^{2}+2{{u}_{n-1}},\text{ }\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.$ .
Xác định công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$.

Câu 12.(HSG cấp tỉnh Long An 2016-2017) Cho dãy số thực $({{u}_{n}})$ xác định bởi$:\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=\dfrac{1}{3} \\
& {{u}_{n+1}}=\dfrac{(n+1){{u}_{n}}}{3n} \\
\end{align} \right.(n\in {{\mathbb{N}}^{*}})$.
Tìm số hạng tổng quát của dãy $({{u}_{n}})$.

Câu 13.(HSG cấp tỉnh Sơn La 2017-2018) Cho dãy số $({{u}_{n}}),\,\,n\in {{N}^{*}}$, được xác định $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=\dfrac{2}{3} \\
& {{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{2(2n+1){{u}_{n}}+1} \\
\end{align} \right.$
Tính tổng $2018$ số hạng đầu tiên của dãy số $({{u}_{n}})$

Câu 14.(HSG Tỉnh Gia Lai 2014 - 2015) Cho dãy số $({{x}_{n}})\,,\,$ xác định bởi:
${{x}_{1}}=3$ và ${{x}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left( x_{n}^{2}+1 \right),\,\,n=1,2,...$ . Đặt ${{S}_{n}}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{{{x}_{k}}+1}}$ . Tìm phần nguyên $\left[ {{S}_{2015}} \right]$ và $\lim {{S}_{n}}$ .

Câu 15.(HSG Tỉnh ĐĂKLẮC 2017-2018) Cho dãy số $({{x}_{n}})$ được xác định như sau : $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}=2 \\
& {{x}_{n+1}}=\sqrt{4+\sqrt{8{{x}_{n}}+1}}\ \ ,\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\
\end{align} \right.$ .
2) Tính $\lim {{x}_{n}}$.

Câu 16.(HSG tỉnh Lào Cai 2016-2017)
Cho dãy số thực dương $\left( {{x}_{n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}=5 \\
& {{x}_{n+1}}=\sqrt{3}+\dfrac{{{x}_{n}}}{\sqrt{x_{n}^{2}-1}},\forall n\ge 1 \\
\end{align} \right.$ .
b) Chứng minh dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 17.(ĐỀ MINH HỌA HSG THANH HÓA 2017-2018)Cho dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=\dfrac{4}{3} \\
& {{\left( n+2 \right)}^{2}}{{a}_{n}}={{n}^{2}}{{a}_{n+1}}-\left( n+1 \right){{a}_{n}}{{a}_{n+1}} \\
\end{align} \right.\,\,\,\forall n\ge 1,\,n\in \mathbb{N}$ .
Tìm $\lim {{a}_{n}}$.

Câu 18.(HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017)
Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn ${{u}_{1}}=-1$; ${{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{2}+\dfrac{2}{{{u}_{n}}},\forall n\ge 1$ và dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ thỏa mãn:
${{u}_{n}}{{v}_{n}}-{{u}_{n}}+2{{v}_{n}}+2=0$ $\forall n\ge 1$. Tính $\,{{v}_{2015}}$ và $\lim {{u}_{n}}$.

Câu 19.(HSG cấp tỉnh lớp 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho dãy số $({{u}_{n}})$ xác định như sau $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=2,\,\,{{u}_{2}}=5 \\
& {{u}_{n+2}}=5{{u}_{n+1}}-6{{u}_{n}},\forall n\ge 1 \\
\end{align} \right..$ Tính giới hạn $\lim \left( \dfrac{{{u}_{n}}}{{{3}^{n}}} \right).$

Câu 20.(HSG cấp tỉnh Hưng Yên 2017-2018)Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ được xác định bởi
$\left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}=\dfrac{1}{2} \\
& {{x}_{n}}+\dfrac{x_{n-1}^{2}}{2}=\dfrac{1}{2},\,\forall n\ge 2. \\
\end{align} \right.$.
1. Chứng minh rằng $-\dfrac{1}{8}\le {{x}_{n}}\le \dfrac{1}{2}$ với mọi $n\ge 1$.
2. Tìm giới hạn của dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ khi $n\to +\infty $.

Câu 21.(HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017)
2. Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định bởi: ${{u}_{1}}=a,\,{{u}_{2}}=b,{{u}_{n}}=\dfrac{1}{2}({{u}_{n-1}}+{{u}_{n-2}})$ với mọi $n\ge 3$(a,b là số thực). Tìm giới hạn của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ theo $a$ và $b$.

Câu 22.(HSG cấp Thành phố Cần Thơ 2017-2018) Tại một Hội chợ triển lãm quốc tế, Ban tổ chức sắp xếp cho khách tham quan xem một buổi biểu diễn văn nghệ bằng hình thức bán vé khuyến mãi. Ban tổ chức có 100 tấm vé được ghi số liên tiếp từ 1 đến 100. Người mua vé lấy vé ngẫu nhiên từ thùng đựng vé. Nếu lấy được những tấm vé có ghi số chia hết cho 5 thì được miễn phí tiền mua vé. Nếu lấy được những vé cso ghi số không chia hết cho 5 thì phải trả một số tiền tương ứng với số ghi trên tấm vé nhân với 1000 đồng. Hỏi nếu bán hết 100 vé thì Ban tổ chức sẽ thu về tổng số tiền bán vé là bao nhiêu?

Câu 23.[HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018] Cho cấp số nhân $\left( {{U}_{n}} \right)$ có tổng $n$ số hạng đầu tiên được tính theo công thức ${{S}_{n}}=\dfrac{{{3}^{n}}-1}{{{3}^{n-1}}}$ . Xác định công bội của cấp số nhân đó.
A. $\dfrac{4}{3}$ .
B. $\dfrac{1}{3}$ .
C. $3$ .
D. $\dfrac{3}{4}$ .

Câu 24.[HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018] Cho các số nguyên $x$ và $y$ thỏa mãn $x+6y,5x+2y,8x+y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời $x+\dfrac{5}{3},y-1,2x-3y$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm $x$ và $y$ .
A. $\left\{ \begin{align}
& x=1 \\
& y=3 \\
\end{align} \right.$ .
B. $\left\{ \begin{align}
& x=3 \\
& y=1 \\
\end{align} \right.$ .
C. $\left\{ \begin{align}
& x=-3 \\
& y=-1 \\
\end{align} \right.$ .
D. $\left\{ \begin{align}
& x=-1 \\
& y=-3 \\
\end{align} \right.$ .

Câu 25.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho bốn số $a$, $b$, $c$, $d$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, trong đó $abcd\ne 0$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. $\dfrac{a}{d}={{\left( \dfrac{b}{c} \right)}^{3}}$ .
B. $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{cd}=\dfrac{3}{ac}$ .
C. ${{\left( ab+bc+cd \right)}^{2}}=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)$ .
D. $\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$ .

Câu 26.Đầu mùa thu hoạch bưởi, một bác nông dân đã bán cho người thứ nhất nửa số bưởi thu hoạch được và nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số bưởi còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số bưởi còn lại và nửa quả v.v… Đến lượt người thứ $11$bác nông dân cũng bán nửa số bưởi còn lại và nửa quả thì không còn quả nào nữa. Hỏi bác nông dân đã thu hoạch được bao nhiêu quả bưởi đầu mùa?

Câu 27.(HSG tỉnh Bình Phước 2017-2018) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định như sau: $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=a\ge 1 \\
& {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}\left( u_{n}^{2017}+1 \right) \\
\end{align} \right.$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Tìm $\lim \left( \dfrac{u_{1}^{2017}}{\sqrt{{{u}_{2}}}+\dfrac{{{u}_{2}}}{\sqrt{{{u}_{1}}}}}+\dfrac{u_{2}^{2017}}{\sqrt{{{u}_{3}}}+\dfrac{{{u}_{3}}}{\sqrt{{{u}_{2}}}}}+...+\dfrac{u_{n}^{2017}}{\sqrt{{{u}_{n+1}}}+\dfrac{{{u}_{n+1}}}{\sqrt{{{u}_{n}}}}} \right)$.

Câu 28.Tìm $\lim {{u}_{n}}$ với ${{u}_{n}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{6}...\dfrac{2n+1}{2n+2}$ .

Câu 29.(HSG¬ K12 Bình Thuận 2016 2017) Tìm $\lim {{u}_{n}}$ với ${{u}_{n}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{6}...\dfrac{2n+1}{2n+2}$ .

Câu 30.(HSG12 cấp tỉnh GIA LAI 2014-2015)Cho dãy số $({{x}_{n}})\,,\,$ xác định bởi:
${{x}_{1}}=3$ và ${{x}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left( x_{n}^{2}+1 \right),\,\,n=1,2,...$ . Đặt ${{S}_{n}}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{{{x}_{k}}+1}}$ . Tìm phần nguyên $\left[ {{S}_{2015}} \right]$ và $\lim {{S}_{n}}$ .

Câu 31.(CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC 2017 - 2018) Cho dãy số được xác định như sau: ${{u}_{1}}=2017;\,\,{{u}_{n-1}}={{n}^{2}}\left( {{u}_{n-1}}-{{u}_{n}} \right)$ với mọi . Tìm giới hạn dãy số .

Câu 32.[HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018] Tìm giới hạn của dãy số $\left( {{U}_{n}} \right)$ với ${{U}_{n}}=\sqrt{\dfrac{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+...+{{n}^{2}}}{\left( {{n}^{2}}+n \right)\left( n+2 \right)}}$ .

Câu 33.(HSG cấp tỉnh Hải Phòng 2016-2017) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi công thức truy hồi:
${{u}_{1}}=\dfrac{7}{2};\text{ }{{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{u_{n}^{3}-7{{u}_{n}}+\dfrac{30n+31}{n+1}},\text{ }\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
Chứng minh rằng dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ có giới hạn, tính $\lim {{u}_{n}}.$