Hệ phương trình trong các đề thi HSG toán 12 năm 2017-2018

Câu 1.(HSG Quảng Nam 2016 2017)
b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{3}}+x{{y}^{2}}+x={{y}^{3}}+y{{x}^{2}}+y \\
& \sqrt{2x-y}+\sqrt{x+y+1}=xy-3x+1 \\
\end{align} \right.$ .

Câu 2.(SỞ GD&ĐT HÀ NAM NĂM HỌC 2016- 2017 LỚP 12) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\left\{ \begin{align}
& \dfrac{2xy}{x+y}+\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{xy}+x+y}{2} \\
& {{3}^{x+y-1}}+1=3x-y+\sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+x-y+1} \\
\end{align} \right.$.

Câu 3.(HSG cấp tỉnh lớp 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& \sqrt{x}+\sqrt{xy+\left( x-y \right)\left( \sqrt{xy}-2 \right)}=\sqrt{y}+y\,\,\,\,(1)\, \\
& \left( y+\sqrt{xy}+x-{{x}^{2}} \right)\left( x+1 \right)-4=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\
\end{align} \right.\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$

Câu 4.(HSG12 cấp tỉnh HÒA BÌNH 2017-2018)Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{3}}-{{y}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x-3y+4=0 \\
& \left( x+1 \right)\sqrt{y+1}+\left( x+6 \right)\sqrt{y+6}={{x}^{2}}-5x+12y \\
\end{align} \right.\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.

Câu 5.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{align}
& \sqrt{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\,\,\,\left( 1 \right) \\
& \sqrt{5{{x}^{2}}+4y}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x-18}=\sqrt{x}+4\sqrt{y}\,\,\left( 2 \right) \\
\end{align} \right.\,$

Câu 7.(HSG12 cấp tỉnh GIA LAI 2014-2015)Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\left\{ \begin{align}
& \sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y+1} \\
& \sqrt{2xy+x+6}=4y-1-\dfrac{6}{x} \\
\end{align} \right.$

Câu 8.(HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017) Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}
x\left( x+y \right)+\sqrt{x+y}=\sqrt{2y}\left( \sqrt{2{{y}^{3}}}+1 \right) \\
8{{x}^{2}}-8y+3=8y\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+1} \\
\end{matrix}\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right) \right.$.

Câu 9.(HSG Tỉnh Gia Lai 2014 - 2015)
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\left\{ \begin{align}
& \sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y+1} \\
& \sqrt{2xy+x+6}=4y-1-\dfrac{6}{x} \\
\end{align} \right.$

Câu 10.(HSG cấp thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017)
Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{align}
& {{\log }_{\,2}}x\,.\,{{\log }_{\,3}}y=1 \\
& {{x}^{\,2}}+{{y}^{\,3}}=31 \\
\end{align} \right.$ .

Câu 11.(HSG K12 Cao Bằng 2016 – 2017) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}+1+{{y}^{2}}+xy=4y \\
& x+y=\dfrac{y}{{{x}^{2}}+1}+2 \\
\end{align} \right.\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.

Câu 12.(HSG Hà Tĩnh 2017-2018)
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}
\left( \sqrt{x+1}-1 \right)\left( \sqrt{{{y}^{2}}+1}+y \right)=\sqrt{x} \\
2{{x}^{3}}\left( {{y}^{2}}+1 \right)-\left( x+1 \right)xy=2 \\
\end{matrix} \right.$

Câu 13.(HSG Cao Bằng 2017-2018)
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& {{y}^{3}}+y-2=x\left( {{x}^{2}}+3x+4 \right) \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5 \\
\end{align} \right.$.

Câu 14.( THANH HÓA)(2.0 điểm). Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{align}
& \dfrac{2xy}{x+y}+\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{xy}+x+y}{2} \\
& \sqrt[3]{9xy+3x+6y+9}+2\sqrt[3]{6xy+2}=3x+4 \\
\end{align} \right.$ .

Câu 15.(HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017)
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& 3{{x}^{2}}-2x-5+2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2\left( y+1 \right)\sqrt{{{y}^{2}}+2y+2} \\
& 2x-4y+3={{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \\
\end{align} \right.$ .

Câu 16.(HSG 12 cấp tỉnh ĐỒNG THÁP 2016-2017)Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix}
\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}+1 \right)\left( y+\sqrt{{{y}^{2}}+1} \right)=1\text{ }\left( 1 \right) \\
\sqrt{y-xy+9}+2016=\sqrt{{{y}^{2}}+2y+4}+2017x\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{matrix} \right.$$\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.

Câu 17.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2013-2014) Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{align}
& 5+{{16.4}^{{{x}^{2}}-2y}}=\left( 5+{{16}^{{{x}^{2}}-2y}} \right){{7}^{2y-{{x}^{2}}+2}} \\
& {{x}^{3}}+17x+10y+17=2\left( {{x}^{2}}+4 \right)\sqrt{4y+11} \\
\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\left( x,\,y\in R \right)$

Câu 18.(HSG cấp tỉnh Hà Nội 2016-2017) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\left( y+\sqrt{{{y}^{2}}+9} \right)=3 \\
& x\sqrt{x-y}+y=4 \\
\end{align} \right.$ .

Câu 19.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2017-2018) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực : $\left\{ \begin{align}
& {{2.4}^{y}}+1={{2}^{\sqrt{2x}+1}}+2{{\log }_{2}}(\dfrac{\sqrt{x}}{y}) \\
& \sqrt{x+1}=\dfrac{{{x}^{2}}-x-2\sqrt[3]{4{{y}^{2}}+1}}{\sqrt[3]{2x+1}-3} \\
\end{align} \right.$ .

Câu 20.(HSGBẮC NINH – 2016 – 2017) Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{align}
& {{y}^{3}}=x\sqrt{x-1}-y \\
& 4\left( 3x+2 \right){{y}^{3}}+\left( 12{{x}^{2}}-12x-72 \right)\sqrt{3-x}+m=5{{x}^{3}}+60{{y}^{2}}+60 \\
\end{align} \right.$.

Câu 21.(HSG cấp tỉnh Hưng Yên 2017-2018) Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{align}
& 3{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-xy+12x-17y-15=0 \\
& \sqrt{2-x}+\sqrt{6-x-{{x}^{2}}}=y+\sqrt{2y+5}-\sqrt{y+4}. \\
\end{align} \right.$

Câu 22.(HSG cấp tỉnh tp Đà Nẵng 2017-2018) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& {{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}.{{\log }_{2}}\left( x+y \right)=2+{{\log }_{2}}{{\left( 1+xy \right)}^{2}}\left( 1 \right) \\
& {{\left( x-y \right)}^{2}}+x+y-2=0\left( 2 \right) \\
\end{align} \right.$ .

Câu 23.(HSG cấp tỉnh Long An 2016-2017) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\left\{ \begin{align}
& 2{{(2x+1)}^{3}}+2x+1=(2y-3)\sqrt{y-2} \\
& 2x+\sqrt{2y+3}=6-y \\
\end{align} \right.\,\,$

Câu 24.(HSG tỉnh Bình Phước 2017-2018) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}
& {{y}^{3}}\left( {{x}^{6}}-1 \right)+3y\left( {{x}^{2}}-2 \right)+3{{y}^{2}}+4=0 \\
& \left( 4x+3 \right)\left( \sqrt{4-xy\left( {{x}^{2}}-1 \right)}+\sqrt[3]{3x+8}-1 \right)=9 \\
\end{align} \right.$ $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.

Câu 25.Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\left( y+\sqrt{{{y}^{2}}+9} \right)=3\left( 1 \right) \\
& x\sqrt{x-y}+y=4\,\,\left( 2 \right) \\
\end{align} \right.$

Câu 26.(HSG12 Hà Nội – năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\left( y+\sqrt{{{y}^{2}}+9} \right)=3\left( 1 \right) \\
& x\sqrt{x-y}+y=4\,\,\left( 2 \right) \\
\end{align} \right.$

Câu 27.(HSG cấp tỉnh Đồng Tháp 2016-2017)Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{align}
& \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}+1 \right)\left( y+\sqrt{{{y}^{2}}+1} \right)=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\
& \sqrt{y-xy+9}+2016=\sqrt{{{y}^{2}}+2y+4}+2017x\,\,\,\left( 2 \right) \\
\end{align} \right.\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ .

Câu 28.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2016-2017) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
$\left\{ \begin{align}
& \dfrac{2xy}{x+y}+\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{xy}+x+y}{2} \\
& {{3}^{x+y-1}}+1=3x-y+\sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+x-y+1} \\
\end{align} \right..$

Câu 29.(HSG cấp tỉnh lớp 12 Hòa Bình2016-2017) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x+1=2y+\sqrt{4{{y}^{2}}-4y+2} \\
& {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=1 \\
\end{align} \right.$.

Câu 30.(HSG Tỉnh Thái Bình – Năm 2017 – 2018)
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{align}
& {{x}^{3}}-{{y}^{3}}-3\left( 2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y \right)+15x-10=0 \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+y-5}+3\sqrt{y}-\sqrt{3{{x}^{2}}-6y+13}=0 \\
\end{align} \right.$

Câu 31.(HSG CẤP TỈNH TOÁN 12 – NH 16-17 THANH HÓA) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& 2x\left( 4{{x}^{2}}-y+2 \right)+4{{x}^{2}}\left( y-1 \right)=\sqrt{y-2}-2x+{{y}^{2}}-3y+2\text{ (1)} \\
& \left( \sqrt{y-2}-1 \right)\sqrt{2x+1}=8{{x}^{3}}-13\left( y-2 \right)+82x-29\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{align} \right.$

Câu 32.(HSG tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018)
a) Giải hệ phương trình sau $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{3}}-{{y}^{3}}+3{{y}^{2}}+x-4y+2=0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}+x-3=2\sqrt{x+2}+y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\
\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$

Câu 33.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{align}
& 2x(4{{x}^{2}}-y+2)+4{{x}^{2}}(y-1)=\sqrt{y-2}-2x+{{y}^{2}}-3y+2 \\
& (\sqrt{y-2}-1)\sqrt{2x+1}=8{{x}^{3}}-13(y-2)+82x-29 \\
\end{align} \right.\,\,(x,y\in \mathbb{R}).$

Câu 34.(HSG cấp tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018)
Giải hệ phương trình sau $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{3}}-{{y}^{3}}+3{{y}^{2}}+x-4y+2=0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}+x-3=2\sqrt{x+2}+y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\
\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$

Câu 35.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x^{3}=y^{2}+7 x^{2}-m x} \\ {y^{3}=x^{2}+7 y^{2}-m y}\end{array}\right.$. Biết hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Khi đó tập hợp tất cả các giá trị của m là

Câu 36.( THANH HÓA)(2,0 điểm). Tìm $ $ để hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}{|x-6| \geq\left|x^{2}-5 x+9\right|} \\ {\left(x^{2}-x+4\right)\left(x^{4}+16\right) \leq m x^{3}}\end{array}\right.$ có nghiệm.

Câu 37.(ĐỀ MINH HỌA HSG THANH HÓA 2017-2018)Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình: $2 x^{2}+2 y^{2}-12 x-20 y+68-m=0$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:$x \geq 0, y \geq 0,2 x+y-2 \geq 0, x+3 y-9 \leq 0$

Câu 38.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2013-2014) Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}{\log _{2}(x+y) \leq 0} \\ {x+y+\sqrt{2 x y+m} \geq 1}\end{array}\right.$có nghiệm thực duy nhất.

Câu 39.(HSG CẤP TỈNH TOÁN 12 – NH 16-17 THANH HÓA) Tìm các giá trị của tham số $m$ để hệ bất phương trình có$\left\{\begin{array}{l}{\log _{3}^{2}(x+7)+(x-3) \log _{3}(x+7)+x-4 \geq 0} \\ {m x(x+1+2 \sqrt{x+2})+27 m \leq x+\sqrt{x+2}}\end{array}\right.$ nghiệm