b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=1 \\ & 2{{y}^{2}}-3{{z}^{2}}=1 \\ & xy+yz+zx=1 \\ \end{align} \right.$ (với $x,\,y,\,z\in \mathbb{R}$)

[HSG chọn đội tuyển quốc gia TỈNH BẾN TRE 2019-2020]



b) Đặt $x=ay,\,$ $z=by$với $a,\,b\in \mathbb{R}$.
+ Xét $a=0$ $\Rightarrow x=0\Rightarrow -2{{y}^{2}}=1$ (vô lý).
+ Xét $y=0$ $\Rightarrow -3{{z}^{2}}=1$ (vô lý), vậy $y\ne 0$.
+ Với $y\ne 0$ thì ta viết lại hệ ban đầu như sau:
$\left\{ \begin{align} & {{y}^{2}}\left( {{a}^{2}}-2 \right)=1 \\ & {{y}^{2}}\left( 2-3{{b}^{2}} \right)=1 \\ & {{y}^{2}}\left( a+b+ab \right)=1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow {{a}^{2}}-2=2-3{{b}^{2}}=a+b+ab$.
Ta có ${{a}^{2}}-2=a+b+ab$ $\Rightarrow {{a}^{2}}-1=a+b+ab+1$ $\Rightarrow \left( a-1 \right)\left( a+1 \right)=\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)$
Với $a+1=0$. Thay vào phương trình đầu của hệ ta được $-{{y}^{2}}=1$(vô lý). Vậy $a+1\ne 0$. Từ đó ta suy ra được $a-1=b+1$ $\Rightarrow a-b=2$. $\left( 1 \right)$
Tương tự, từ $2-3{{b}^{2}}=a+b+ab$ ta suy ra được $a+3b=2$ $\left( 2 \right)$ .
Từ $\left( 1 \right),$ $\left( 2 \right)$ ta suy ra $\left\{ \begin{align} & a=2 \\ & b=0 \\ \end{align} \right.$ . Thay lại vào cách đặt ta được $x=2y,z=0$.
Hệ phương trình ban đầu trở thành $\left\{ \begin{align} & 2{{y}^{2}}=1 \\ & x=2y \\ & z=0 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x=\sqrt{2} \\ & y=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & z=0 \\ \end{align} \right.\vee \left\{ \begin{align} & x=-\sqrt{2} \\ & y=\dfrac{-1}{\sqrt{2}} \\ & z=0 \\ \end{align} \right.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left( x;y;z \right)\in \left\{ \left( \sqrt{2};\dfrac{1}{\sqrt{2}};0 \right),\left( -\sqrt{2};\dfrac{-1}{\sqrt{2}};0 \right) \right\}$