Câu 1.(6 điểm) a)[HSG chọn đội tuyển quốc gia TỈNH BẾN TRE 2019-2020] Giải phương trình: ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x-2=2\sqrt{x+2}$trên $\left[ -2;2 \right].$

a)Điều kiện: $x\ge -2$.
Cách 1: Ta có:
${{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x-2=2\sqrt{x+2}$
$\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-4 \right)+{{x}^{2}}-4=2\sqrt{x+2}-\left( x+2 \right)$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( x+1 \right)=\sqrt{x+2}\left( 2-\sqrt{x+2} \right)$
$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)=\dfrac{\left( x+2 \right)\left( 2-x \right)}{\sqrt{x+2}.\left( 2+\sqrt{x+2} \right)}$
$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left[ \left( x+1 \right)+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}.\left( 2+\sqrt{x+2} \right)} \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pm 2 \\ & \left( x+1 \right)+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}.\left( 2+\sqrt{x+2} \right)}=0\,\,\,\left( 1 \right) \\ \end{align} \right.$ .
Giải phương trình $\left( 1 \right)$, ta đặt $t=\sqrt{x+2}$ $\left( t > 0 \right)$thì phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành ${{t}^{2}}-1+\dfrac{1}{t\left( 2+t \right)}=0$
$\Rightarrow {{t}^{4}}+2{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-2t+1=0$
$\Rightarrow {{t}^{2}}+2t-1-\dfrac{2}{t}+\dfrac{1}{{{t}^{2}}}=0\,\left( 2 \right)$
Lại đặt $u=t-\dfrac{1}{t}$ thì ${{t}^{2}}+\dfrac{1}{{{t}^{2}}}={{u}^{2}}+2$.
Phương trình $\left( 2 \right)$ sẽ đưa về theo biến u thành phương trình mới như sau:
${{u}^{2}}+2+2u-1=0$ $\Leftrightarrow$ ${{\left( u+1 \right)}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow$ $u=-1$.
Vậy $u=t-\dfrac{1}{t}=-1$ $\Rightarrow {{t}^{2}}+t-1=0$ $\Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$do $t > 0$.
Thay ngược lại vào $t=\sqrt{x+2}$ $\Rightarrow x+2={{\left( \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{6-2\sqrt{5}}{4}$ $\Rightarrow x=\dfrac{-2-2\sqrt{5}}{4}$.
Thử lại ta thấy nghiệm $x=\dfrac{-2-2\sqrt{5}}{4}$thỏa mãn.
Vậy phương trình đã có có tập nghiệm $S=\left\{ -2;\dfrac{-2-2\sqrt{5}}{4};2 \right\}$.
Cách 2:
Đặt $t=\sqrt{x+2}$ $\left( t\ge 0 \right)$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành
${{t}^{6}}-5{{t}^{4}}+5{{t}^{2}}-2t=0$
$\Rightarrow t\left( t-2 \right)\left( {{t}^{4}}+2{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-2t+1 \right)=0$
$\Rightarrow t\left( t-2 \right){{\left( {{t}^{2}}+t-1 \right)}^{2}}=0$
$\Rightarrow \left[ \begin{align} & t=0 \\ & t=2 \\ & t=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \\ \end{align} \right.$ (do$t\ge 0$).
Thay ngược lại vào $t=\sqrt{x+2}$, ta được $x=-2;\,\,x=2;\,x=\dfrac{-2-2\sqrt{5}}{4}$.
Thử lại ta thấy các nghiệm trên đều thỏa mãn.
Vậy phương trình đã có có tập nghiệm là $S=\left\{ -2;\dfrac{-2-2\sqrt{5}}{4};2 \right\}$.