Câu 6. [HSG cấp trường Dân tộc nội trú Yên Bái 2019-2020] Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực $m\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}+2 \right)=2\sqrt{1-{{x}^{4}}}+\sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}$.

Điều kiện: $x\in \left[ -1;\,1 \right]$
Đặt $t=\sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}$.
Ta có ${t}'=\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}+\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=x\left( \dfrac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right)$
Phương trình ${t}'=0\Leftrightarrow x=0$
Ta có $t\left( 0 \right)=\sqrt{2};\,\,\,t\left( -1 \right)=0;\,\,\,t\left( 1 \right)=0$. ta được: $0\le t\le \sqrt{2}$
Khi đó: ${{t}^{2}}=2-2\sqrt{1-{{x}^{4}}}\Leftrightarrow 2\sqrt{1-{{x}^{4}}}=2-{{t}^{2}}$
Do đó phương trình trở thành $m\left( t+2 \right)=-{{t}^{2}}+t+2\Leftrightarrow \dfrac{-{{t}^{2}}+t+2}{t+2}=m$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{2}}+t+2}{t+2}$ với $t\in \left[ 0;\,\,\sqrt{2} \right]$
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{2}}-4t}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}\le 0,\,\,\forall t\in \left[ 0;\,\sqrt{2} \right]$
Do đó $f\left( \sqrt{2} \right)\le m\le f\left( 0 \right)\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\le m\le 1$
Vậy giá trị m cần tìm là: $\dfrac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\le m\le 1$