Câu 5. [HSG cấp trường Dân tộc nội trú Yên Bái 2019-2020] Cho tứ diện $SABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $BC=2a\,,\,AC=a$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $C$ qua trung điểm của $AB$. Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và mặt phẳng $(ABC)$. Biết rằng $\tan \alpha =\sqrt{6}$ và $SA=SB=SD$. Tính thể tích khối tứ diện $SABC$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $AD$.

Vì $D$ là điểm đối xứng với $C$ qua trung điểm của $AB$ nên $ACBD$là hình bình hành.
$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{BAC}=90{}^\circ$
Gọi $H$là trung điểm của $AD\Rightarrow HA=HB=HD$.
Gọi $E$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABD)$.
Khi đó $SE\bot (ABD)\Rightarrow SE\bot EA,\,SE\bot EB,\,SE\bot ED$ $\Rightarrow \Delta SEA,\,\Delta SEB,\,\Delta SED$ là các tam giác vuông tại $E$ có $SE$ chung và $SA=SB=SD$ $\Rightarrow \Delta SEA=\Delta SEB=\,\Delta SED$ ( cạnh huyền và cạnh góc vuông).
$\Rightarrow EA=EB=\,ED\quad (1)$
Mặt khác $HA=HB=HD\quad (2)$
Do đó từ $(1)$và $(2)$ ta có $H$ trùng $E$ $\Rightarrow SH\bot (ABD)$
Gọi $K$ là trung điểm của $BD$.
Vì $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và mặt phẳng $(ABC)$ nên $\widehat{SKH}=\alpha$ .
Ta có:
$\begin{align} & A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}=3{{a}^{2}} \\ & \Rightarrow AB=a\sqrt{3} \\ \end{align}$
$\Rightarrow SH=HK.\tan \alpha =\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$
Ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}\,.\,SH\,.\,{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
Ta có
$\begin{align} & \quad AD\,\text{//}BC\,\Rightarrow \,AD\,\text{//}(SBC) \\ & \Rightarrow d(SC\,,\,AD)=d(AD\,,\,(SBC))=d(H\,,\,(SBC)) \\ \end{align}$
Ta có $BC\subset (SBC)$
$BC\bot SH$
Kẻ $HM\bot BC$
Khi đó $BC\bot (SHM)\Rightarrow (SBC)\bot (SHM)\quad (3)$
Mà $(SBC)\cap (SHM)=SM\quad (4)$
Trong $(SHM)$ kẻ $\quad HJ\bot SM\quad (5)$
Từ $(3),(4),(5)$ $\Rightarrow HJ\bot (SBC)$ $\Rightarrow d(H\,,\,(SBC))=HJ$
Kẻ $AE\bot BC\Rightarrow AE\,\text{//}\,HM$ và$AE\,\text{=}\,HM$
Ta có:
$\begin{align} & \dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}} \\ & \Rightarrow AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=HM \\ \end{align}$
Ta có:
$\begin{align} & \dfrac{1}{H{{J}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}=\dfrac{14}{9{{a}^{2}}} \\ & \Rightarrow HJ=\dfrac{3a\sqrt{14}}{14} \\ \end{align}$
Vậy $d(SC\,,\,AD)=\dfrac{3a\sqrt{14}}{14}$