Hình học không gian trong các đề thi HSG toán 12 năm 2017-2018

Câu 1.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}$ $=\widehat{DAB}={{60}^{0}},\,$ $AB=8\text{(}cm\text{)},\,$ $AC=9\text{(}cm\text{)},$ $AD=10\text{(}cm\text{)}.$ Gọi ${{A}_{1}},\,{{B}_{1}},\,{{C}_{1}},\,{{D}_{1}}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,\,ACD$, $ABD,\,ABC$ Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( ACD \right)$.

Câu 1.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}$ $=\widehat{DAB}={{60}^{0}},\,$ $AB=8\text{(}cm\text{)},\,$ $AC=9\text{(}cm\text{)},$ $AD=10\text{(}cm\text{)}.$ Gọi ${{A}_{1}},\,{{B}_{1}},\,{{C}_{1}},\,{{D}_{1}}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,\,ACD$, $ABD,\,ABC$Tính thể tích khối tứ diện ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.$

Câu 3.( THANH HÓA)(2.0 điểm). Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $B$, $AB=BC=a\sqrt{3}$, khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $a\sqrt{2}$ và $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90{}^\circ $. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABC$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$.

Câu 4.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc hạ từ $A'$ xuống $\left( ABC \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ hợp với mặt phẳng đáy góc ${{45}^{o}}.$ Gọi $I,\text{ }J$ lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $CC'$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $IJ$ .

Câu 5.(HSG Bắc Giang năm 2016 – 2017) Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc hạ từ $A'$ xuống $\left( ABC \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ hợp với mặt phẳng đáy góc ${{45}^{o}}.$ Gọi $I,\text{ }J$ lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $CC'$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $IJ$ .

Câu 6.(HSG cấp thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017) Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt đáy là tam giác đều cạnh $a$ và hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm $H$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{AHB}=150{}^\circ \,$ , $\widehat{BHC}=120{}^\circ $ , $\widehat{CHA}=90{}^\circ $ . Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp $S.HAB$ , $S.HBC$ , $\,S.HCA$ là $\dfrac{31}{3}\pi {{a}^{\,2}}$ . Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABC$ .

Câu 7.( HSG TPHCM 2016-2017) Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt đáy là tam giác đều cạnh $a$ và hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm $H$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{AHB}=150{}^\circ $ , $\widehat{BHC}=120{}^\circ $ , $\widehat{CHA}=90{}^\circ $ . Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp $S.HAB$ , $S.HBC$ , $S.HCA$ là $\dfrac{31}{3}\pi {{a}^{\,2}}$ . Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABC$ .

Câu 8.(HSG Hà Tĩnh 2017-2018)Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi, $AB=AC=a$; tam giác $SBD$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Gọi $M$ là trung diểm của $SC$, mặt phẳng $\left( ABM \right)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai khối đa diện. Tính thể tích của khối đa diện không chứa điểm $S$.

Câu 9.(HSG cấp tỉnh Hưng Yên 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,AD=2a$.Mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác cân tại $S$và vuông góc với mặt phẳng đáy.Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( SAC \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

Câu 10.(HSG Hà Tĩnh 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi, $AB=AC=a$; tam giác $SBD$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Gọi $M$ là trung diểm của $SC$, mặt phẳng $\left( ABM \right)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai khối đa diện. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BM$.

Câu 11.(HSG cấp Thành phố Cần Thơ 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a,\,\widehat{BAD}={{60}^{o}},$ $\,SA=SB=a.$Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD,$ biết $SG=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$ Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$

Câu 12.(HSG tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $SA=SB=SC=a$ và $SD=x$ $\left( a > 0,\,x > 0 \right)$. a)Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$ và $x$. b)Tính $x$ theo $a$ để thể tích khối chóp $S.ABCD$ lớn nhất.

Câu 13.(SỞ GD&ĐT HÀ NAM NĂM HỌC 2016- 2017 LỚP 12) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a\sqrt{3}$. Điểm $M$ thay đổi thuộc cạnh $BC$ ($M$ khác $B$, $C$), điểm $N$ thay đổi thuộc cạnh $DC$($N$ khác $D$, $C$) sao cho hai mặt phẳng $\left( SAM \right)$ và $\left( SAN \right)$ hợp với nhau một góc ${{45}^{{}^\circ }}$. Tìm vị trí của $M$, $N$để tổng thể tích của các khối $SABM$, $SMCN$, $SADN$ đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó?

Câu 14.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2013-2014) Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=a,AD=b$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2a$. Gọi $M$ là điểm nằm trên cạnh $SA$ sao cho $AM=x\,\,(0 < x < 2a)$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( MBC \right).$ Tìm $x$ theo $a$ để mặt phẳng $\left( MBC \right)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Câu 15.(HSG cấp tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $SA=SB=SC=a$ và $SD=x$ $\left( a > 0,\,x > 0 \right)$. a)Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$ và $x$.

Câu 16.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, $\widehat{BAD}=120{}^\circ $, $BD=a$ . Hai mặt bên $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa $\left( SBC \right)$ và mặt đáy bằng $60{}^\circ $ . Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$ . B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$ . C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$ . D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$ .

Câu 17.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có thể tích $V$. Tính thể tích khối tứ diện $AC{B}'{D}'$. A. $\dfrac{2}{3}V$. B. $\dfrac{1}{3}V$. C. $\dfrac{3}{4}V$. D. $\dfrac{1}{2}V$.

Câu 18.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$. Gọi ${{V}_{1}}$ , ${{V}_{2}}$ lần lượt là thể tích của các khối chóp $S.MNCD$ và $S.ABCD$. Khi đó tỷ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ là A. $\dfrac{3}{8}$. B. $\dfrac{2}{3}$. C. $\dfrac{1}{8}$. D. $\dfrac{3}{4}$.

Câu 19.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018)Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$ , tam giác $SAC$ vuông. Tính thể tích của khối chóp đã cho. A. $\dfrac{4\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$ . B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$ . C. $\dfrac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$ . D. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$ .

Câu 20.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Cho khối chóp $S.ABCD$có đáy$ABCD$ là hình bình hành và có thể tích là $2018$( đơn vị thể tích). Gọi $M$,$N$lần lượt là các điểm trên các cạnh $SB$, $SD$sao cho: $MS=MB$, $ND=2NS$. Mặt phẳng $\left( CMN \right)$ chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích của phần có thể tích nhỏ hơn. A. $\dfrac{4055}{24}$. B. $\dfrac{5450}{24}$. C. $\dfrac{6045}{24}$. D. $\dfrac{5045}{24}$.

Câu 21.(HSG K12 Cao Bằng 2016 – 2017) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=2a$, $BD=a\sqrt{6}$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là trọng tâm $G$ của tam giác $BCD$, biết $SG=2a$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

Câu 22.(HSG12 cấp tỉnh HÒA BÌNH 2017-2018)Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a\sqrt{2}$, $BC=a$ và $SA=SB=SC=SD=2a$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên $AC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $K$ trên $SA$. a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$. b) Tính diện tích xung quanh của hình nón được tạo thành khi quay tam giác $ADC$ quanh $AD$theo $a$ . c) Tính $\cos in$ góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( BKH \right)$.

Câu 23.(HSG cấp tỉnh tp Đà Nẵng 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $4a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và có độ dài bằng $a\sqrt{2}$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ . Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng $SM$ và $AN$ .

Câu 24.(HSG CẤP TỈNH TOÁN 12 – NH 16-17 THANH HÓA) Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB=6$, $BC=12$,$\widehat{ABC}={{60}^{{}^\circ }}$. Thể tích của khối chóp $C'.ABB'A'$ bằng $216$. Gọi $M$ là điểm nằm trong tam giác $A'B'C'$ sao cho tổng diện tích tất cả các mặt của hình chóp $M.ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng $M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A'B'C'$. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $B'M$ và $AC'$.

Câu 25.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB=6,BC=12,\widehat{ABC}={{60}^{0}}.$ Thể tích của khối chóp $C'.ABB'A'$ bằng 216. Gọi M là điểm nằm trong tam giác $A'B'C'$ sao cho tổng diện tích tất cả các mặt của hình chóp $M.ABC$đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng $M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A'B'C'.$ Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $B'M$ và $AC'.$

Câu 26.(CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC 2017 - 2018) Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{BAD}={{60}^{o}},\,AB=2a.$ Gọi $H$ là trung điểm $AB$ . Trên đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ tại $H$ lấy điểm $S$ thay đổi khác $H$ . Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $BM=\dfrac{1}{4}BC\text{.}$ Tính theo $a$ độ dài của $SH$ để góc giữa $SC$ và $\left( SAD \right)$ có số đo lớn nhất.

Câu 27.(ĐỀ MINH HỌA HSG THANH HÓA 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với $AD//BC$ , $AB=BC=a$ , $AD=2a$ ; tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và$SB=a\sqrt{3}$. Tính góc giữa hai đường thẳng $BM$ và $CD$ .

Câu 28.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$. Cạnh bên $SA$vuông góc với $\left( ABCD \right)$ và $SA=x$. Tìm $x$ để $\left( SBC \right)$ hợp với $\left( SCD \right)$ một góc ${{60}^{0}}$. A. $x=a\sqrt{3}$. B. $x=2a$. C. $x=3a$. D. $x=\varnothing $.

Câu 29.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Cho tứ diện $ABCD$ có $BCD$ là tam giác vuông cân tại $C$, $BC=a$, $AC=a\sqrt{3}$ và $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90{}^\circ $. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( BCD \right)$. A. $30{}^\circ $. B. $45{}^\circ $. C. $60{}^\circ $. D. $75{}^\circ $.

Câu 30.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa đường thẳng $B'C$ và mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B'C'$ và $A'C$.

Câu 31.Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có mặt đáy $\left( ABCD \right)$ là một hình chữ nhật. Mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác cân tại $S$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Biết $AB=2a$, $BC=a$ và góc tạo bởi cạnh bên $SC$ và mặt đáy $\left( ABCD \right)$ là $45{}^\circ $.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$, $BD$.

Câu 32.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $2a$ , $\widehat{BAD}=120{}^\circ $. Mặt bên $\left( SAB \right)$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$ . Khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ . B. $\dfrac{2a}{3}$ . C. $\dfrac{3a\sqrt{3}}{4}$ . D. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$ .

Câu 33.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ . Biết $AB=SD=3a$ , $AD=SB=4a$ , đường chéo $AC$ vuông góc với mặt phẳng $\left( SBD \right)$ . Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SA$ .

Câu 34.(HSG cấp tỉnh Hưng Yên 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$có độ dài cạnh đáy bằng $2a$,góc giữa mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ và mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{0}}$.Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$và $C{C}'$.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ${A}'M$ và $AN$ theo $a$.

Câu 35.( HSG 12 cấp tỉnh ĐỒNG THÁP 2016-2017) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$, $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Tam giác $SOA$ cân tại $S$ và mặt phẳng $\left( SAD \right)$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$.Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt đáy bằng $60{}^\circ $. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$.

Câu 36.(HSG cấp tỉnh tp Đà Nẵng 2017-2018) Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho tam giác $ABC$ có các cạnh $AB=7\text{cm}$ , $BC=15\text{cm}$ , $CA=2\text{cm}$ . Một mặt cầu tâm $O$ , thể tích bằng $36\pi \text{c}{{\text{m}}^{3}}$ tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác $ABC$ . Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ .

Câu 37.(HSG tỉnh Lào Cai 2016-2017) Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $AB=2a$ , $SD=3a$ . Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên mặt phẳng đáy là trung điểm của $AB$ . Gọi $K$ là trung điểm của $AD$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $HK$ và $SD$ theo $a$ .

Câu 38.(HSG Cao Bằng 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{o}}$. a.Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. b.Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$.

Câu 39.(HSG cấp Thành phố Cần Thơ 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a,\,\widehat{BAD}={{60}^{o}},$ $\,SA=SB=a.$Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD,$ biết $SG=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$ Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SD$ sao cho $SE=\dfrac{2a}{3}.$ Chứng minh $GE$ vuông góc với mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$.

Câu 40.(HSG cấp tỉnh tp Đà Nẵng 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $4a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và có độ dài bằng $a\sqrt{2}$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $AN$ .

Câu 41.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $CD=2a$ , hình chiếu $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là trọng tâm $H$ của tam giác $ABD$ . Biết góc giữa $SC$ và mặt đáy $\left( ABCD \right)$ bằng $\varphi $ thỏa mãn $\tan \varphi =\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ , khoảng cách từ $H$ đến $\left( SCD \right)$ bằng $a\sqrt{2}$ . Tính độ dài cạnh $AD$ . A. $4a$ . B. $2\sqrt{3}a$ . C. $3a$ . D. $a\sqrt{3}$ .

Câu 42.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$là trung điểm cạnh $B'C'$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$và $BM$. A. $2a$. B. $a\sqrt{3}$. C. $\dfrac{a\sqrt{57}}{19}$. D. $\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.

Câu 43.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , $AB=a$ , $AC=a\sqrt{3}$ . Tam giác $SBC$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ $B$ tới mặt phẳng $\left( SAC \right)$ là. A. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$ . B. $\dfrac{4a\sqrt{21}}{7}$ . C. $\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$ . D. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$ .

Câu 44.(HSG K12 Cao Bằng 2016 – 2017) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=2a$, $BD=a\sqrt{6}$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là trọng tâm $G$ của tam giác $BCD$, biết $SG=2a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$ theo $a$.

Câu 45.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2016-2017) Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}={{60}^{0}}$, $A'A=A'B=A'D$. Cạnh bên $AA'$ hợp với mặt phẳng ($ABCD$) một góc ${{60}^{0}}$.Tính theo $a$ thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $BC,$ $AD'$.

Câu 46.(HSG Tỉnh Thái Bình – Năm 2017 – 2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh bằng $a$ , $\widehat{ABC}=60{}^\circ $, $SA=SB=SC$, $SD=2a$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SB$ tại $K$.Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$.

Câu 47.(HSG cấp tỉnh Đồng Tháp 2016-2017)Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$, $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Tam giác $SOA$ cân tại $S$ và mặt phẳng $\left( SAD \right)$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt đáy bằng $60{}^\circ $. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$.

Câu 48.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017) Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}$ $=\widehat{DAB}=60{}^\circ $ , các cạnh $\,AB=8\text{(}cm\text{)}$ , $AC=9\text{(}cm\text{)},$ $AD=10\text{(}cm\text{)}.$ Gọi ${{A}_{1}},\,{{B}_{1}},\,{{C}_{1}},\,{{D}_{1}}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,\,$ $ACD,\,$ $ABD,\,$ $ABC.$ Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( ACD \right)$.