Mũ-logarit trong các đề thi HSG toán 12 năm học 2017-2018

Câu 1.(HSG cấp thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017) Cho hàm số $f\left( x \right)=a\sin x+b\sqrt[3\,]{x}+2016$ . Cho biết $f\left( \log \left( {{\log }_{\,3}}10 \right) \right)=2017$ . Tính $f\left( \log \left( \log 3 \right) \right)$ .

Câu 2.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho các số $a$ , $b$ , $c$ dương thảo mãn ${{2}^{a}}={{6}^{b}}={{12}^{c}}$ . Khi đó biểu thức $T=\dfrac{b}{c}-\dfrac{b}{a}$ có giá trị là A. $\dfrac{3}{2}$ . B. $1$ . C. $2$ . D. $\dfrac{1}{2}$ .

Câu 3.b) Cho hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{4}^{t}}}{{{4}^{t}}+\sqrt{m}}$, $m$ là tham số thực dương. Định $m$ để các số thực $x$, $y$ thỏa $f\left( x \right)+f\left( y \right)=1$ và ${{e}^{x}}.{{e}^{y}}\le ex+ey$.

Câu 4.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Cho ${{\log }_{2}}5=a$ , ${{\log }_{3}}5=b$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ${{\log }_{5}}6=\dfrac{a+b}{ab}$ . B. ${{\log }_{5}}6=\dfrac{ab}{a+b}$ . C. ${{\log }_{5}}6=\dfrac{1}{a+b}$ . D. ${{\log }_{5}}6=\dfrac{1}{ab}$ .

Câu 5.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Cho $x$ , $y$ là các số thực thỏa mãn ${{\log }_{4}}\left( x+2y \right)+{{\log }_{4}}\left( x-2y \right)=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| x \right|-\left| y \right|$ . A. $2$ . B. $-\sqrt{3}$ . C. $\sqrt{3}$ . D. $-2$ .

Câu 6.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017) Cho ${{\log }_{5}}6=a,\,$ ${{\log }_{6}}12=b.$ Tính $\text{lo}{{\text{g}}_{25}}24$ theo $a$ và $b.$

Câu 7.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho ${{\log }_{5}}6=a,\,{{\log }_{6}}12=b.$ Tính $\text{lo}{{\text{g}}_{25}}24$ theo $a$ và $b.$

Câu 8.Cho $a=\log 196$, $b=\log 56$. Tính $\log 0.175$ theo $a,b$ .

Câu 9.(HSG Bắc Giang năm 2016 – 2017) Cho $a=\log 196$, $b=\log 56$. Tính $\log 0.175$ theo $a,b$ .

Câu 10.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017)Cho hàm số $f(x)=\dfrac{{{4}^{x}}}{{{4}^{x}}+2}\cdot $ Tính tổng: $S=f\left( \dfrac{1}{2017} \right)+f\left( \dfrac{2}{2017} \right)+\cdot \cdot \cdot +f\left( \dfrac{2016}{2017} \right)\cdot $

Câu 11.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho hàm số $f(x)=\dfrac{{{4}^{x}}}{{{4}^{x}}+2}\cdot $ Tính tổng: $S=f\left( \dfrac{1}{2017} \right)+f\left( \dfrac{2}{2017} \right)+\cdot \cdot \cdot +f\left( \dfrac{2016}{2017} \right)\cdot $

Câu 12.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Đạo hàm của hàm số $y={{3}^{\sin x}}$ là: A. ${{3}^{\sin x}}\cos x\ln 3$ . B. ${{3}^{\sin x}}\ln 3$ . C. ${{3}^{\sin x-1}}$ . D. ${{3}^{\sin x-1}}\cos x$ .

Câu 13.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left( -5;0 \right)$ để hàm số $y={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-4x-3m \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ ? A. $5$ . B. $3$ . C. $4$ . D. $2$ .

Câu 14.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho hàm số $y={{\log }_{\dfrac{1}{3}}}\left| x \right|$ .Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. Đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận đứng. B. Hàm số đã cho có đạo hàm ${y}'=-\dfrac{1}{x\ln 3}$ , $\forall x\ne 0$ . C. Hàm số đã cho có tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ . D. Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng mà nó đã xác định.

Câu 15.(HSG Tỉnh Thái Bình – Năm 2017 – 2018) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y={{\log }_{2018}}\left( {{2017}^{x}}-x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right)$ xác định với mọi $x$ thuộc $\left[ 0\,;\,+\infty \right)$.

Câu 16.(HSG cấp Thành phố Cần Thơ 2017-2018) Giải phương trình ${{\log }_{2}}x{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x.{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x \right)-2=0.$

Câu 17.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{\log }_{2}}\left( mx \right)=2{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)$ có một nghiệm duy nhất.

Câu 18.(HSG Hà Tĩnh 2017-2018) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2} > 1$ $2{{\log }_{9+4\sqrt{5}}}\left( 2{{x}^{2}}-x-4{{m}^{2}}+2m \right)+{{\log }_{\sqrt{\sqrt{5}-2}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\,\,\left( 1 \right)$

Câu 19.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Gọi ${{x}_{1}}$ , ${{x}_{2}}$ $\left( {{x}_{1}} < {{x}_{2}} \right)$ là hai nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}-3x+18 \right)=3$ . Tính ${{x}_{1}}+3{{x}_{2}}$ . A. $-13$ . B. $1$ . C. $13$ . D. $-1$ .

Câu 20.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình ${{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{x+2}{3-2x}\ge 0$ . A. $3$ . B. $0$ . C. $1$ . D. $2$ .

Câu 21.(HSG cấp tỉnh lớp 12 Hòa Bình2016-2017) Giải phương trình $\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}{{\left( x-1 \right)}^{2}}-12{{\log }_{2}}\left( 1-x \right)+8=0$.

Câu 22.(HSG LỚP 12 TỈNH VĨNH LONG) Giải phương trình: ${{2}^{x+1}}-{{9.2}^{\dfrac{x+\sqrt{x-1}}{2}}}+{{2}^{2+\sqrt{x-1}}}=0$ với $x\in \mathbb{R}$ .

Câu 23.(HSGBẮC NINH – 2016 – 2017)Giải phương trình : $\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}\left( 5-2x \right)+\dfrac{\log _{2}^{2}\left( 5-2x \right)}{{{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)}={{\log }_{2}}{{\left( 2x-5 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right).{{\log }_{\sqrt{2}}}\left( 5-2x \right)$ .

Câu 24.(HSG12 cấp tỉnh HÒA BÌNH 2017-2018) Giải phương trình ${{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{x}}+{{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{x}}-{{7.2}^{x}}=0$ .

Câu 25.( HSG TPHCM 2016-2017) Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{align} & {{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}y=1 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{3}}=31 \\ \end{align} \right.$ .

Câu 26.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) (1,25 điểm) Giải phương trình ${{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{3}}+2=3\sqrt[3]{{{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}} \right)-2}$ .

Câu 27.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Tìm $m$ để phương trình ${{4}^{{{x}^{2}}}}-{{2}^{{{x}^{2}}+2}}+6=m$ có đúng ba nghiệm phân biệt. A. $m=3$ . B. $m > 3$ . C. $m=2$ . D. $2 < m < 3$ .

Câu 28.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{({{\log }_{\sqrt{3}}}x)}^{2}}-m({{\log }_{\sqrt{3}}}x)+1=0$ có hai nghiệm phân biệt. A. $m\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$. B. $m\in (2;+\infty )$. C. $m\in (-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$. D. $m\in (-\infty ;-2)$.

Câu 29.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho phương trình ${{9}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-\left( m+2 \right){{.3}^{1+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$. Tìm tất cả các giá trị $m$ để phương trình có nghiệm A. $4\le m\le 8$. B. $3\le m\le \dfrac{64}{7}$. C. $m\ge \dfrac{64}{7}$. D. $4\le m\le \dfrac{64}{7}$.

Câu 30.(HSG cấp tỉnh Hưng Yên 2017-2018) Tìm nghiệm dương của phương trình ${{4}^{x}}-2x-1=\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\dfrac{\left( 3x+1 \right){{\log }_{4}}\left( 3x+1 \right)}{x}$.

Câu 31.(SỞ GD&ĐT HÀ NAM NĂM HỌC 2016- 2017 LỚP 12) Giải phương trình sau trên tập số thực: ${{\log }_{3}}\left( \dfrac{{{4}^{x}}-{{2}^{x}}+1}{{{2.16}^{x}}-{{2.4}^{x}}+1} \right)={{2}^{x}}\left( {{2.8}^{x}}-{{3.2}^{x}}+1 \right)$.

Câu 32.(HSG TỈNH LỚP 12 SỞ BẮC GIANG NĂM 2016 – 2017) Giải phương trình $\log_{\sqrt[4]{5}}(x^2+7x-3)=\log_{\sqrt{2}}(x^2+7x-4),(\forall x\in\mathbb{R})$.

Câu 33.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm $\left\{ \begin{align} & \log _{3}^{2}(x+7)+(x-3){{\log }_{3}}(x+7)+x-4\ge 0 \\ & mx(x+1+2\sqrt{x+2})+27m\le x+\sqrt{x+2} \\ \end{align} \right..$

Câu 34.a) Giải phương trình $\ln \left( \dfrac{{{x}^{2}}+3x+11}{2{{x}^{2}}-x+12} \right)={{x}^{2}}-4x+1$. $OI=HK=SH-SK=a\sqrt{2}-\dfrac{3a}{2\sqrt{2}}=\dfrac{a}{2\sqrt{2}}$. Nên $\left( S \right)$ có bán kính $R=IA=\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{8}+\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}}=\sqrt{\dfrac{11{{a}^{2}}}{8}}=\dfrac{a\sqrt{11}}{2\sqrt{2}}$. Vậy diện tích của khối cầu là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\dfrac{11{{a}^{2}}}{8}=\dfrac{11\pi {{a}^{2}}}{2}$.

Câu 35.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2016-2017) Giải phương trình sau trên tập số thực: ${{\log }_{3}}\left( \dfrac{{{4}^{x}}-{{2}^{x}}+1}{{{2.16}^{x}}-{{2.4}^{x}}+1} \right)={{2}^{x}}\left( {{2.8}^{x}}-{{3.2}^{x}}+1 \right).$

Câu 36.(HSG cấp tỉnh Bắc Giang 2016-2017) Giải phương trình ${{\log }_{\sqrt[4]{5}}}\left( {{x}^{2}}+7x-3 \right)={{\log }_{\sqrt{2}}}\left( {{x}^{2}}+7x-4 \right)$

Câu 37.Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & \sqrt{2{{x}^{2}}+6xy+5{{y}^{2}}}+5=\sqrt{2{{x}^{2}}+6xy+5{{y}^{2}}+14x+20y+25} \\ & {{7}^{2x+5y-1}}=6{{\log }_{7}}(5x-5y-5)+1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \end{align} \right.$

Câu 38.(HSG Bắc Giang năm 2016 – 2017) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & \sqrt{2{{x}^{2}}+6xy+5{{y}^{2}}}+5=\sqrt{2{{x}^{2}}+6xy+5{{y}^{2}}+14x+20y+25} \\ & {{7}^{2x+5y-1}}=6{{\log }_{7}}(5x-5y-5)+1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \end{align} \right.$

Câu 39.(HSG cấp tỉnh tp Đà Nẵng 2017-2018) Ông Tư gửi $600$ vào một ngân hàng với lãi suất $0,75%$ /tháng. Sau $4$ tháng ngân hàng thay đổi lãi suất thành $0,5%$ /tháng, ông tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa thì rút được cả vốn lẫn lãi là $643.368.752$ đồng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi ông Tư đã gửi tổng cộng bao nhiêu tháng, nếu trong khoảng thời gian đó ông không rút tiền ra?

Câu 40.(HSG cấp tỉnh lớp 12 Hòa Bình2016-2017) Anh B vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà và được hưởng lãi suất ưu đãi là 0,5% một tháng.Anh B trả ngân hàng theo phương thức trả góp,mỗi tháng trả 5,5 triệu đồng.Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh B sẽ trả hết số tiền vay? (làm tròn đến số nguyên).