Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan trong đề thi HSG12 năm 2017-2018 phần 2

Câu 1.(HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( 1-2m \right)x-2$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại đúng $1$ điểm.

Câu 2.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2013-2014) Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+(m-1)x+1$ $\left( 1 \right)$ với đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ $\left( m\in R \right)$. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $\left( 1 \right)$ với $m=1$. 2. Tìm $m$để đường thẳng $\left( d \right):$ $y=2x+1$ cắt đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại ba điểm $A,B,C$ phân biệt sao cho điểm $C\left( 0;1 \right)$ nằm giữa $A$ và $B$ đồng thời đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng $\sqrt{55}$.

Câu 3.(HSG CẤP TỈNH TOÁN 12 – NH 16-17 THANH HÓA) Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số. 2) Cho hai đường thẳng cùng đi qua điểm $I\left( 1;1 \right)$ có tổng các hệ số góc bằng $\dfrac{5}{2}$. Mỗi đường thẳng cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại bốn điểm phân biệt và bốn giao điểm đó là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. Viết phương trình hai đường thẳng đó.

Câu 4.(HSG cấp tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{2x-m}{mx+1},\,\left( {{H}_{m}} \right)$. a.Khi $m=1$, hàm số đã cho có đồ thị $\left( {{H}_{1}} \right)$ cắt các trục $Ox,Oy$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B$.Tính diện tích tam giác $OAB$.

Câu 5.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ , điểm $I(3;3)$ và đường thẳng $d:y=-x+m$ . Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho diện tích tứ giác $OAIB$ bằng 6 ( $O$ là gốc tọa độ).

Câu 6.(HSG Cao Bằng 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{x+3}{x+1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=2x+m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ phân biệt sao cho $AB=5$.

Câu 7.(HSG cấp tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{2x-m}{mx+1},\,\left( {{H}_{m}} \right)$. b.Chứng minh rằng với mọi $m\ne 0$ thì đồ thị hàm số $\left( {{H}_{m}} \right)$ cắt đường thẳng $\left( d \right):y=2x-2m$ tại hai điểm phân biệt $C,\,D$ thuộc một đường $\left( H \right)$ cố định. Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $Ox,\,Oy$ lần lượt tại các điểm $M,\,N$. Tìm $m$ để ${{S}_{OCD}}=3.{{S}_{OMN}}$.

Câu 8.(HSGBẮC NINH – 2016 – 2017)Cho hàm số $y={{x}^{4}}-4\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2m-1$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ . Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Câu 9.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $-x^4+2x^2+3+3m=0$ có $4$ nghiệm phân biệt. A. $1 < m < \dfrac{4}{3}$. B. $-\dfrac{4}{3}\le m < -1$. C. $3 < m < 4$. D. $-\dfrac{4}{3} < m < -1$.

Câu 10.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018)Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$, điểm $A\left( 2;-2 \right)$. Tìm $m < 0$ để đường thẳng $\left( d \right):y=-x+m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$sao cho tứ giác $OAMN$ là hình bình hành ($O$ là gốc tọa độ). A. $m=-7$. B. $m=-3$. C. $m=-5$. D. $m=-1$.

Câu 11.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\dfrac{x+1}{\left| x-1 \right|}=m$ có nghiệm duy nhất. A. $m < 1$. B. $-1\le m < 1$. C. $-1 < m\le 1$. D. $m\le 1$.

Câu 12.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) (1,5 điểm) Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 5m+1 \right)x-2m-2$, với $m$ là tham số. Tìm các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$, $A\left( 2;\,0 \right)$, sao cho trong hai điểm $B$, $C$ có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$.

Câu 13.(HSG cấp tỉnh Hải Phòng 2016-2017) Cho hàm số $y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}-3x$ (1) và đường thẳng $(\Delta ):y=2mx-2$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để đường thẳng $(\Delta )$ và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt $A,\text{ }B,\text{ }C$ sao cho diện tích tam giác $OBC$ bằng $\sqrt{17}$(trong đó$A$ là điểm có hoành độ bằng 1 và $O$ là gốc toạ độ).

Câu 14.Cho hàm số $y=\dfrac{2x+3}{x+2}$ có đồ thị là đường cong $\left( C \right)$ và đường thẳng$\left( d \right):y=-2x+m$. Tìm $m$để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt đường cong $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,\,B$ sao cho biểu thức $P=k_{1}^{2017}+k_{2}^{2017}$ đạt giá trị nhỏ nhất với ${{k}_{1}}=y'\left( {{x}_{A}} \right),{{k}_{2}}=y'\left( {{x}_{B}} \right)$.

Câu 15.(HSG Bắc Giang năm 2016 – 2017) Cho hàm số $y=\dfrac{2x+3}{x+2}$ có đồ thị là đường cong $\left( C \right)$ và đường thẳng$\left( d \right):y=-2x+m$. Tìm $m$để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt đường cong $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,\,B$ sao cho biểu thức $P=k_{1}^{2017}+k_{2}^{2017}$ đạt giá trị nhỏ nhất với ${{k}_{1}}=y'\left( {{x}_{A}} \right),{{k}_{2}}=y'\left( {{x}_{B}} \right)$.

Câu 16.(HSG12 cấp tỉnh GIA LAI 2014-2015) Cho hàm số $y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx-1$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ , với $m$ là tham số. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=-2x-1$ cắt đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại $3$ điểm phân biệt $A(0;-1),\,B,\,C$ sao cho tiếp tuyến của đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại hai điểm $B,\,C$ vuông góc với nhau.

Câu 17.(HSG¬ K12 Bình Thuận 2016 2017) Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình $\left| {{x}^{2}}-4x+3 \right|=m$.

Câu 18.(HSG K12 Cao Bằng 2016 – 2017) Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-mx-4$ (1), với $m$ là tham số. Tìm $m$ để đường thẳng $d:y=x-4$ cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt.

Câu 19.(HSG Tỉnh Thái Bình – Năm 2017 – 2018) $\left. 2 \right)$ Cho hàm số: $y=2{{x}^{3}}-\left( m+6 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-3m \right)x+3{{m}^{2}}$ có đồ thị là $\left( {{C}_{m}} \right)$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$; ${{x}_{3}}$ thỏa mãn: ${{\left( {{x}_{1}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{3}}-1 \right)}^{2}}=6$.

Câu 20.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm dương phân biệt ${{x}^{3}}-3(m+1){{x}^{2}}+3(2m+1)x+2{{m}^{2}}-9m-5=0$.

Câu 21.(HSG Hà Tĩnh 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{2x+3}{x+2}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=-2x+m$ . Chứng minh rằng $d$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ với mọi số thực $m$. Gọi ${{k}_{1}};{{k}_{2}}$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$. Tìm $m$ để ${{k}_{1}}+{{k}_{2}}=4$.

Câu 22.(HSG cấp tỉnh Hưng Yên 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$.Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại giao điểm của nó và đường thẳng $y=2x+1$.

Câu 23.(HSG cấp tỉnh Sơn La 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}m{{x}^{3}}+(m-1){{x}^{2}}+(4-3m)+1$ có đồ thị là $({{C}_{m}})$, $m$ là tham số . Tìm các giá trị của $m$ để trên $({{C}_{m}})$ có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của $({{C}_{m}})$ tại điểm đó vuông góc với đường thẳng $d:x+2y=0$.

Câu 24.(HSG cấp Thành phố Cần Thơ 2017-2018) Tìm các điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ để tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt hai trục tọa độ tại hai điểm $A,\,B$ sao cho diện tích của tam giác $OAB$ bằng 2, với $O$ là gốc tọa độ.

Câu 25.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Cho hàm số $y=\left( x+1 \right)\ln \left( x+1 \right)\,\,\left( C \right)$ và điểm $A\left( 2;1 \right)$. Chứng minh rằng qua $A$ vẽ được hai tiếp tuyến đến đồ thị $\left( C \right)$.

Câu 26.( THANH HÓA) (4.0 điểm). Cho hàm số $y=\dfrac{2x+3}{x+2}$ có đồ thị $\left( C \right)$. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số. 2) Chứng minh đường thẳng $d$ có phương trình $y=-2x+m+1$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm $A$, $B$ phân biệt với mọi số thực $m$. Gọi ${{k}_{1}},\,\,{{k}_{2}}$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$. Tìm $m$ để $P={{\left( {{k}_{1}} \right)}^{2016}}+{{\left( {{k}_{2}} \right)}^{2016}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 27.(HSG Tỉnh Gia Lai 2014 - 2015 ) Cho hàm số $y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx-1$ có đồ thị (Cm) , với m là tham số. 2) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng $d:y=-2x-1$ cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt $A(0;-1),\,B,\,C$ sao cho tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại hai điểm $B,\,C$ vuông góc với nhau.

Câu 28.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2016-2017) Cho hàm số $y=\dfrac{1-x}{x+1}$ có đồ thị $\left( H \right)$, $M$là điểm tùy ý trên $\left( H \right)$ có hoành độ nhỏ hơn $-1$,tiếp tuyến của $\left( H \right)$ tại điểm M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A và B. Xác định tọa độ điểm M để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất, (O là gốc tọa độ).

Câu 29.(HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017) Cho hàm số $y=\dfrac{2x+3}{x+2}$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến đó cắt hai đường tiệm cậntại $A$ và $B$ sao cho $IA=IB$.

Câu 30.(HSG cấp tỉnh Hải Phòng 2016-2017) Cho hàm số $y=\dfrac{3x}{x+3}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right),$ biết khoảng cách từ tâm đối xứng của $\left( C \right)$ đến tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất.

Câu 31.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017) Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+x+1$có đồ thị là $(C)$. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị $(C)$, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Câu 32.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+x+1$ có đồ thị là $(C)$. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị $(C)$, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Câu 33.(HSG cấp tỉnh Hà Nội 2016-2017) Cho hình vuông $\text{ABCD}$ có hai đỉnh $A,B$ thuộcđồ thị hàm số $\text{y=}\dfrac{x+1}{x-1}$ và hai đỉnh $C,D$ thuộc đường thẳng $x+y-1=0$ . Tìm diện tích hình vuông $\text{ABCD}$ .

Câu 34.(HSG cấp tỉnh lớp 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số $y={{x}^{2}}+bx+1$ biết rằng $(P)$ đi qua điểm $A\left( 2;1 \right).$

Câu 35.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho hàm số$y=\dfrac{x+1}{x-1}$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.

Câu 36.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-4\left| x \right|+3=m$ có hai nghiệm phân biệt A. $m\in \left( 3;+\infty \right)\cup \left\{ -1 \right\}$ . B. $m\in \left[ 3;+\infty \right)\cup \left\{ -1 \right\}$ . C. $m\in \left[ -1;3 \right]$ . D. $m\in \left( 3;+\infty \right)$ .

Câu 37. a) Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( 6m+3 \right)x+\dfrac{2}{3}$. Với các giá trị nào của $m$, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 4;+\infty \right)$ ? b) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình $\left| {{x}^{2}}-4x+3 \right|=m$.

Câu 38.(HSG cấp tỉnh Đồng Tháp 2016-2017) Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^{4}}+m$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$, $m$ là tham số. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m=-1$.

Câu 39.(CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC 2017 - 2018)Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ${y=3{{\cos }^{2}}x-4\cos \,x-\sqrt{3}\sin x+\dfrac{19}{4}\,.}$

Câu 40.( HSG TPHCM 2016-2017) Cho hàm số $f\left( x \right)=a\sin x+b\sqrt[3\,]{x}+2016$ . Cho biết $f\left( \log \left( {{\log }_{\,3}}10 \right) \right)=2017$ . Tính $f\left( \log \left( \log 3 \right) \right)$ .

Câu 41.b)Cho hàm số $y=\dfrac{2x+3}{x-2}\left( H \right)$ . Tìm tọa độ điểm $M\in \left( H \right)$ sao cho khoảng cách từ $M$đến $\left( d \right):y=-7x+20$ là nhỏ nhất.

Câu 42.(SỞ GD&ĐT HÀ NAM NĂM HỌC 2016- 2017 LỚP 12) Cho hàm số $y=\dfrac{1-x}{x+1}$ có đồ thị $\left( H \right)$, $M$là điểm tùy ý trên $\left( H \right)$ có hoành độ nhỏ hơn $-1$, tiếp tuyến của $\left( H \right)$ tại điểm $M$cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại $A$ và $B$. Xác định tọa độ điểm $M$ để diện tích tam giác $OAB$ đạt giá trị nhỏ nhất, ($O$ là gốc tọa độ).

Câu 43.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho hàm số$y=\dfrac{x+1}{x-1}$. Cho hai đường thẳng cùng đi qua điểm $I(1;1),$ có tổng các hệ số góc bằng $\dfrac{5}{2}.$ Mỗi đường thẳng cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt và bốn giao điểm đó là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. Viết phương trình hai đường thẳng đó.

Câu 44.(HSG Hà Tĩnh 2017-2018) Cho hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x+m \right|$. Tìm tất cả các số thực $a,b,c\in \left[ 1;\,3 \right]$ thì $f\left( a \right)$, $f\left( b \right)$, $f\left( c \right)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Câu 45.(HSG tỉnh Bình Phước 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{2x-2}{x+1}$ a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $\left( C \right)$ của hàm số. b. Tìm điểm $M$ thuộc $\left( C \right)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:2x-y+4=0$ bằng $\dfrac{2}{3}$ lần khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng ${{\Delta }_{2}}:x-2y+5=0$.

Câu 46.Cho hình vuông $\text{ABCD}$ có hai đỉnh $A,B$ thuộcđồ thị hàm số $\text{y=}\dfrac{x+1}{x-1}$ và hai đỉnh $C,D$ thuộc đường thẳng $x+y-1=0$ . Tìm diện tích hình vuông $\text{ABCD}$ .

Câu 47.(HSG12 Hà Nội – năm 2017-2018) Cho hình vuông $\text{ABCD}$ có hai đỉnh $A,B$ thuộcđồ thị hàm số $\text{y=}\dfrac{x+1}{x-1}$ và hai đỉnh $C,D$ thuộc đường thẳng $x+y-1=0$ . Tìm diện tích hình vuông $\text{ABCD}$ .

Câu 48.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017) Cho hàm số $y=\dfrac{2-2x}{x+1}$ có đồ thị là $(H)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của $(H)$ và $M$ là một điểm bất kì trên $(H)$. Tiếp tuyến với $(H)$ tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của$(H)$lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng tam giác $IEF$ có diện tích không đổi.

Câu 49.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB=4\,(km).$ Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $BC=7\,\text{(}km\text{)}.$ Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí $A$ đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $6\,\text{(}{km}/{h}\;)$ rồi đi xe đạp từ M đến $C$ với vận tốc $10\,\text{(}{km}/{h}\;)$ (hình vẽ bên). Xác định vị trí của $M$ để người đó đến $C$ nhanh nhất.

Câu 50.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB=4\,(km).$ Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $BC=7\,\text{(}km\text{)}.$ Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí $A$ đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $6\,\text{(}{km}/{h}\;)$ rồi đi xe đạp từ M đến $C$ với vận tốc $10\,\text{(}{km}/{h}\;)$ (hình vẽ bên). Xác định vị trí của $M$ để người đó đến $C$ nhanh nhất.

Câu 51.(HSG cấp tỉnh Đồng Tháp 2016-2017)Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB=4\,\text{km}$. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $BC=7\,\text{km}$. Người canh hải đăng đi thuyền từ vị trí $A$ đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $6\,\text{km/h}$, rồi đi xe đạp từ $M$ đến $C$ với vận tốc $10\,\text{km/h}$ (hình vẽ bên). Xác định vị trí $M$ để người đó đến $C$ nhanh nhất.

Câu 52.(HSG cấp Thành phố Cần Thơ 2017-2018) Trong một cuộc thi, vận động viên xuất phát từ điểm $A$ trên biển, chèo thuyền đến một điểm $M$ bất kỳ trên bờ biển sau đó chạy bộ về đích đặt tại điểm $C$. Biết rằng điểm xuất phát cách bờ một khoảng $AB=5km;\,BC=9km$ (như hình vẽ); vận tốc chèo thuyền và chạy bộ của vận động viên lần lượt là $6\text{km/h}$ và $10\text{km/h}$. Hỏi vận động viên đó phải chọn điểm $M$ cách đích $C$ một khoảng bao nhiêu $\text{km}$ sao cho tổng thời gian thi đấu nhỏ nhất?