Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan trong các đề thi HSG toán 12 phần 1

Câu 1.(HSG TỈNH LỚP 12 SỞ BẮC GIANG NĂM 2016 – 2017) Tìm m để hàm số $y=\cos3x+6m\cos2x-21\cos x+2m-8$ đồng biến trên khoảng $(0;\pi)$.

Câu 2.(HSG cấp tỉnh tp Đà Nẵng 2017-2018) Tìm tất cả giá trị của $m$ để hàm số $y=-{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+3\left( m+1 \right)x+2$ đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn $2$ .

Câu 3.(SỞ GD&ĐT HÀ NAM NĂM HỌC 2016- 2017 LỚP 12) Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}m{{x}^{3}}-(m-1){{x}^{2}}+3(m-2)x+1$ , với $m$ là tham số thực. Tìm $m$để hàm số đồng biến trên $\left[ 2;+\infty \right)$.

Câu 4.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Cho hàm số $y=-x+\sqrt{{{x}^{2}}+x+m}$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 5.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$sao cho hàm số $y=\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-x+4$ luôn nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$. Tính tổng các phần tử của $S$. A. $1$. B. $-1$. C. $0$. D. $2$.

Câu 6.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{x+4}{2x+m}$ . Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ A. $m\in \left( -\infty ;8 \right)$ . B. $m\in \left( -2;8 \right)$ . C. $m\in \left[ -2;8 \right)$ . D. $m\in \left[ -2;+\infty \right)$ .

Câu 7.Tìm $m$ để hàm số$f\left( x \right)=\dfrac{x-2}{mx-2}$ đồng biến trên khoảng $(0;1).$

Câu 8.(HSG Bắc Giang năm 2016 – 2017) Tìm $m$ để hàm số$f\left( x \right)=\dfrac{x-2}{mx-2}$ đồng biến trên khoảng $(0;1).$

Câu 9.(HSG cấp tỉnh Bắc Giang 2016-2017) Tìm $m$ để hàm số $y=\cos 3x+6m\cos 2x-21\cos x+2m-8$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\pi \right)$.

Câu 10.(HSG¬ K12 Bình Thuận 2016 2017) Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( 6m+3 \right)x+\dfrac{2}{3}$. Với các giá trị nào của $m$, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 4;+\infty \right)$?

Câu 11.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2016-2017) Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}m{{x}^{3}}-(m-1){{x}^{2}}+3(m-2)x+1$ , với m là tham số thực. Tìm m để hàm số đồng biến trên $\left[ 2;+\infty \right)$.

Câu 12.(HSG Quảng Ngải 16-17) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( m-3 \right)x+8{{m}^{2}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\,3 \right)$.

Câu 13.(HỌC SINH GIỎI QUẢNG NGÃI 2016-2017)a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( m-3 \right)x+8{{m}^{2}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\,3 \right)$.

Câu 14.(HỌC SINH GIỎI QUẢNG NGÃI 2016-2017)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=-{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-3m-1$ có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối xứng với nhau qua đường thẳng $x+2y+1=0$.

Câu 15.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2017-2018) Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+3(1-{{m}^{2}})x+{{m}^{3}}-{{m}^{2}}$ , với $m$ là tham số thực. Chứng minh rằng $\forall m\in \mathbb{R}$ hàm số trên luôn có hai điểm cực trị. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số trên thỏa mãn điều kiện điểm $M$ vừa là điểm cực đại của đồ thị hàm số ứng với giá trị này của $m$ đồng thời điểm $M$ vừa là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với giá trị khác của $m$ .

Câu 16.a) Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2018\left( C \right)$ ,$m$ là tham số. Định $m$ để đồ thị $\left( C \right)$ có ba điểm cực trị $A,B,C$ và tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Câu 17.(HSG Cao Bằng 2017-2018) Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+mx-1$có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn$\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2$.

Câu 18.(HSG12 cấp tỉnh HÒA BÌNH 2017-2018)Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số $f\left( x \right)=1+3{{x}^{2}}-2{{x}^{3}}$.

Câu 19.( HSG 12 cấp tỉnh ĐỒNG THÁP 2016-2017) Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^{4}}+m$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$, $m$ là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=-1$. b) Với những giá trị nào của $m$ thì đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng $32$.

Câu 20.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Cho hàm số $y=x^{3}-3 x^{2}+m x+1$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm $I\left( \dfrac{1}{2};\,\dfrac{7}{2} \right)$ tới đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó là lớn nhất.

Câu 21.(HSG cấp Thành phố Cần Thơ 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}\left( m+4 \right){{x}^{2}}-\left( 2{{m}^{2}}-5m-3 \right)x+2m-1$ ($m$ là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đã cho có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ lần lượt là độ dài hai cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật có đường chéo nhỏ nhất.

Câu 22.(HSG LỚP 12 TỈNH VĨNH LONG) Cho hàm số $y={{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}m{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{m}^{3}}$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ ( $m$ là tham số). Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ có hai điểm cực trị là $A\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }B$ sao cho đường thẳng $AB$ vuông góc đường thẳng $d:y=x$ .

Câu 23.(HSGBẮC NINH – 2016 – 2017) Cho hàm số $y={{x}^{4}}-4\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2m-1$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ . Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

Câu 24.(HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm $M\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2} \right)$.

Câu 25.(HSG cấp tỉnh Hưng Yên 2017-2018) Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x-4$,m là tham số.Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị và khoảng cách từ điểm $A\left( \dfrac{7}{2};1 \right)$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó lớn nhất.

Câu 26.(HSG TỈNH LỚP 12 SỞ BẮC GIANG NĂM 2016 – 2017) Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $f(x)=x^3+(m^2-3)x+m^2+m-2$ có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng $y=\dfrac{1}{2}x-2$.

Câu 28.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Cho một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S=\dfrac{1}{4}{{t}^{4}}-{{t}^{3}}+5{{t}^{2}}+10t+1$. Trong đó, $S$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây. Hỏi từ thời điểm $t=1s$ đến thời điểm $t=5s$ thì vận tốc lớn nhất của chất điểm là bao nhiêu?

Câu 29.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{3}}+mx$ có điểm cực đại và cực tiểu là A. $m\in \left[ 3;+\infty \right)$. B. $m\in \left( 3;+\infty \right)$. C. $m\in \left( -\infty ;3 \right)$. D. $m\in \left( -\infty ;3 \right]$.

Câu 30.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Chứng minh hàm số $f\left( x \right)=62x-50-{{5}^{x}}-{{7}^{x}}$ chỉ có một điểm cực đại dương.

Câu 31.Cho hàm số ${{x}^{4}}=2{{x}^{2}}+1$. Biết đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là $A$, $B$, $C$. Khi đó diện tích tam giác $ABC$ là A. $2$. B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. C. $\dfrac{1}{2}$. D. $1$.

Câu 32.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+m$. Gọi $A$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$để hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$. Khi đó tập $A$ là tập con của tập hợp A. $\left( -\infty ;-1 \right]$. B. $\left( 3;+\infty \right)$. C. $\left( -\infty ;1 \right]$. D. $\left( 2;+\infty \right)$.

Câu 33.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+\left( 5m+4 \right)x+3m+1$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của $m$ để hàm số đã cho có hai điểm cực trị ${{x}_{1}}$; $x{}_{2}$ thỏa mãn ${{x}_{1}} < 2 < {{x}_{2}}$.

Câu 34.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Số điểm cực trị của hàm số $y=-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-x-7$ là: A. $0$ . B. $1$ . C. $3$ . D. $2$ .

Câu 35.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)$. A. $5$. B. $2$. C. $3$. D. $4$.

Câu 36.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ và có hệ số góc $m$. Có tất cả bao nhiêu giá trị của $m$sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến $\Delta $ là nhỏ nhất. A. $1$. B. $0$. C. $2$. D. $3$.

Câu 37.(HSG12 cấp tỉnh GIA LAI 2014-2015) Cho hàm số $y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx-1$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ , với $m$ là tham số. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ có điểm cực đại và điểm cực tiểu sao cho hoành độ các điểm cực đại và điểm cực tiểu đều âm.

Câu 38.(HSG K12 Cao Bằng 2016 – 2017) Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-mx-4$, với $m$ là tham số. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số có cực trị.

Câu 39.(HSG Tỉnh Gia Lai 2014 - 2015) Cho hàm số $y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx-1$ có đồ thị (Cm), với m là tham số. 1) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu sao cho hoành độ các điểm cực đại và điểm cực tiểu đều âm.

Câu 40.(HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017) Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1\text{ }\left( 1 \right)$, với $m$ là tham số thực. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số $\left( 1 \right)$ có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Câu 41.(HSG cấp tỉnh Bắc Giang 2016-2017) Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $f(x)={{x}^{3}}+\left( {{m}^{2}}-3 \right)x+{{m}^{2}}+m-2$ có 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng $y=\dfrac{1}{2}x-2$.

Câu 42.(HSG cấp tỉnh Đồng Tháp 2016-2017) Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^{4}}+m$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$, $m$ là tham số. Với những giá trị nào của $m$ thì đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng $32$ (đvdt).

Câu 43.(HSG cấp tỉnh lớp 12 Hòa Bình2016-2017) Tìm các giá trị của tham số $m$ hàm số $y=2{{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+12m+1$ có cực đại cực tiểu.

Câu 44.(HSG Quảng Ngải 16-17)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=-{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-3m-1$ có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối xứng với nhau qua đường thẳng $x+2y+1=0$.

Câu 45.(HSG cấp tỉnh Long An 2016-2017) Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ có đồ thị $(C)$. Hãy tìm tất cả các giá trị của số thực $a$ để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $(C)$ nằm khác phía (phía trong và phía ngoài) của đường tròn $(T):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-4ay+5{{a}^{2}}-1=0$.

Câu 46.(HSG12 cấp tỉnh HÒA BÌNH 2017-2018)Tìm điều kiện của tham số $m$để đồ thị hàm số$y=\dfrac{2x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ có đường tiệm cận đứng.

Câu 47.(HSG cấp tỉnh tp Đà Nẵng 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-2}{\sqrt{m{{x}^{2}}-4}}$ có đúng $4$ đường tiệm cận.

Câu 48.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$để đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}$ A. $m=0$. B. $m\le 0$. C. $m < 0$. D. $m > 0$.

Câu 49.(HSG cấp tỉnh lớp 12 Hòa Bình2016-2017) Tìmtất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+3}{x-1}$.

Câu 50.(HSG Tỉnh Thái Bình – Năm 2017 – 2018) $\left. 1 \right)$ Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị là $\left( C \right)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm $M$ đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 51.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{2-2x}{x+1}$ có đồ thị là $(H)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của $(H)$ và $M$ là một điểm bất kì trên $(H)$. Tiếp tuyến với $(H)$ tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của$(H)$lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng tam giác $IEF$ có diện tích không đổi.

Câu 52.(HSG tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Cho hàm số $y=\dfrac{2x-m}{mx+1},\,\left( {{H}_{m}} \right)$. a.Khi $m=1$, hàm số đã cho có đồ thị $\left( {{H}_{1}} \right)$ cắt các trục $Ox,Oy$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B$.Tính diện tích tam giác $OAB$. b.Chứng minh rằng với mọi $m\ne 0$ thì đồ thị hàm số $\left( {{H}_{m}} \right)$ cắt đường thẳng $\left( d \right):y=2x-2m$ tại hai điểm phân biệt $C,\,D$ thuộc một đường $\left( H \right)$ cố định. Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $Ox,\,Oy$ lần lượt tại các điểm $M,\,N$. Tìm $m$ để ${{S}_{OCD}}=3.{{S}_{OMN}}$