Hình học không gian trong các đề thi HSG toán 12 năm 2017-2018 phần 2

Câu 1.(HỌC SINH GIỎI QUẢNG NGÃI 2016-2017) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,\,AD=b\left( a,b > 0 \right)$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy$(ABCD)$ và $SA=2a$. Lấy điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x$ với $0 < x < 2a$ .) Xác định $x$ để mặt phẳng $(MBC)$ chia khối chóp$S.ABCD$ thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Câu 2.(HSG tỉnh Bình Phước 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB=AD=a$, $CD=2a$. Biết rằng hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $\left( SBC \right)$ và mặt đáy bằng ${{45}^{0}}$. Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$.

Câu 3.(HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017) 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là trung điểm của $OC$. Góc giữa mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

Câu 4.(HSG Quảng Ngải 16-17) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,\,AD=b\left( a,b > 0 \right)$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy$(ABCD)$ và $SA=2a$. Lấy điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x$ với $0 < x < 2a$ . Xác định $x$ để mặt phẳng $(MBC)$ chia khối chóp$S.ABCD$ thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Câu 5.(HSG Tỉnh Thái Bình – Năm 2017 – 2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh bằng $a$ , $\widehat{ABC}=60{}^\circ$, $SA=SB=SC$, $SD=2a$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SB$ tại $K$. $\left. 2 \right)$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích ${{V}_{1}}$; ${{V}_{2}}$ trong đó ${{V}_{1}}$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $S$. Tính $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$.

Câu 6.(HSG cấp tỉnh lớp 12 Hòa Bình2016-2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,tam giác SAD đều và mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và DC. a) Tính thể tích khối tứ diện SMCN b) Chứng minh rằng đường thẳng AM vuông góc với (SBN)

Câu 7.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017) Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}$ $=\widehat{DAB}=60{}^\circ$ , các cạnh $\,AB=8\text{(}cm\text{)}$ , $AC=9\text{(}cm\text{)},$ $AD=10\text{(}cm\text{)}.$ Gọi ${{A}_{1}},\,{{B}_{1}},\,{{C}_{1}},\,{{D}_{1}}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,\,$ $ACD,\,$ $ABD,\,$ $ABC.$ b) Tính thể tích khối tứ diện ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.$

Câu 8.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa đường thẳng $B'C$ và mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ .

Câu 9.(HSG LỚP 12 TỈNH VĨNH LONG)Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ biết tam giác $ABC$ là tam giác cân, $AB=BC=3a$ , $AC=2a$. Các mặt phẳng $(B'AB),\,(B'AC),\,(B'BC)$ cùng tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc ${{60}^{0}}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.

Câu 10.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Trong không gian cho $4$ đường thẳng ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$, ${{d}_{3}}$, ${{d}_{4}}$ đôi một song song và không có $3$ đường nào nằm trong cùng một mặt phẳng. Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt $4$ đường thẳng ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$, ${{d}_{3}}$, ${{d}_{4}}$ theo thứ tự là $A$, $B$, $C$, $D$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ cắt $4$ đường thẳng ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$, ${{d}_{3}}$, ${{d}_{4}}$ theo thứ tự là ${A}'$, ${B}'$, ${C}'$, ${D}'$ ($\left( Q \right)$ khác $\left( P \right)$). Chứng minh thể tích của hai khối đa diện ${D}'ABC$ và $D{A}'{B}'{C}'$ bằng nhau.

Câu 11.(SỞ GD&ĐT HÀ NAM NĂM HỌC 2016- 2017 LỚP 12) Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD}={{60}^{{}^\circ }}$, $A'A=A'B=A'D$. Cạnh bên $AA'$ hợp với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc ${{60}^{{}^\circ }}$. Tính theo $a$ thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $BC$, $AD'$.

Câu 12.(HSG TỈNH LỚP 12 SỞ BẮC GIANG NĂM 2016 – 2017) Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi, $\widehat{ABC} > 90^\circ$. Góc giữa hai mặt phẳng $(A'BC)$ và $(ABCD)$ bằng $45^\circ$; khoảng cách từ điểm $C'$ đến mặt phẳng $(A'CD)$ bằng $a$. Gọi $E$ là trung điểm cạnh $CD$. Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $AA'DE$.

Câu 13.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh bên bằng $2a$ , đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , $AB=a$ , $AC=a\sqrt{3}$ . Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm của$BC$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là: A. $\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$. B. $\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$. C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$. D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.

Câu 14.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ . Mặt phẳng $(A{B}'{C}')$ tạo với mặt đáy góc $60{}^\circ$ . Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là: A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$. B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$. C. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$. D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.

Câu 15.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc hạ từ $A'$ xuống $\left( ABC \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ hợp với mặt phẳng đáy góc ${{45}^{o}}.$ Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$

Câu 16.(HSG Bắc Giang năm 2016 – 2017) Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc hạ từ $A'$ xuống $\left( ABC \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ hợp với mặt phẳng đáy góc ${{45}^{o}}.$ Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$

Câu 17.(HSG cấp tỉnh Bắc Giang 2016-2017) Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi,$\widehat{ABC} > {{90}^{0}}$.Góc giữa $A'C$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}$,góc giữa 2 mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{0}}$,khoảng cách từ điểm C’ đến $\left( A'CD \right)$ bằng $a$ .Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $CD$ .Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A'ADE$

Câu 18.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Cho tứ diện $ABCD$, $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác $BCD$. Qua $M$ket các đường thẳng lần lượt song song $AB,AC$ và $AD$ cắt các mặt $\left( ACD \right),\left( ABD \right)$ và $\left( ABC \right)$ tại các điểm $H,I$ và $K$. Chứng minh $AB.AC.AD\ge 27MH.MI.MK$.

Câu 19.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2017-2018) Cho mặt cầu có tâm $O$ và bán kính $\mathscr{R}$ . Từ một điểm $S$ bất kỳ trên mặt cầu ta dựng ba cát tuyến bằng nhau, cắt mặt cầu tại các điểm $A,B,C$ ( khác với $S$ ) và$\widehat{ASB}=$ $\widehat{BSC}=$ $\widehat{CSA}=\alpha$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $\mathscr{R}$ và $\alpha$ . Khi $\alpha$ thay đổi, tìm $\alpha$ để thể tích khối chóp $S.ABC$ lớn nhất.

Câu 20.(HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, góc $\widehat{BAD}={{120}^{0}}$, $BD=a > 0$, cạnh bên$SA$ vuông góc mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ$. Điểm $K$ thay đổi trên đoạn $SC$. a) Tìm các vị trí của $K$ sao cho tam giác $BKD$ lần lượt có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất. b) Khi $K$ là điểm sao cho diện tích tam giác $BKD$ nhỏ nhất. Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện do mặt phẳng $\left( BKD \right)$ chia khối chóp $S.ABCD$.

Câu 21.(HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=A{A}'=a$. Điểm $M$ thay đổi trên đường thẳng $A{B}'$ sao cho mặt phẳng qua $M$, vuông góc $AB$ cắt đường thẳng $B{C}'$ tại điểm $N$ trên đoạn $B{C}'$. Xác định vị trí của $M$ để biểu thức $2A{{M}^{2}}+M{{N}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 22.(HSG cấp tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $SA=SB=SC=a$ và $SD=x$ $\left( a > 0,\,x > 0 \right)$. b)Tính $x$ theo $a$ để thể tích khối chóp $S.ABCD$ lớn nhất.

Câu 23.(HSG cấp tỉnh lớp 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Một điểm $M$ di động trên cạnh đáy $BC$( $M$ khác $B$ , $C$ ). Mặt phẳng $(\alpha )$đi qua $M$ đồng thời song song với hai đường thẳng $SB$ , $AC$ . Xác định thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $(\alpha )$ và tìm vị trí điểm $M$ để thiết diện đó có diện tích lớn nhất.

Câu 24.(HSG cấp tỉnh Hải Phòng 2016-2017) Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh bên bằng $a,$ góc hợp bởi đường cao $SH$ của hình chóp và mặt bên bằng $\varphi .$ a) Tính theo $a$ và $\varphi$ thể tích của khối chóp $S.ABCD.$ b) Khi $a$ không đổi và $\varphi$ thay đổi, tìm $\varphi$ để thể tích khối chóp $S.ABCD$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 25.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2016-2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a\sqrt{3}$. Điểm M thay đổi thuộc cạnh BC (M khác B, C), điểm N thay đổi thuộc cạnh DC (N khác D, C) sao cho hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) hợp với nhau một góc 450. Tìm vị trí của M, N để tổng thể tích của các khối SABM, SMCN, SADN đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó?

Câu 26.(HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017) 2. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $2$, góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $\alpha$. Tìm giá trị của $\cos \alpha$ để thể tích khối chóp $S.ABCD$ nhỏ nhất.

Câu 27.(HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017) 3. Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh bằng $a$. Lấy điểm $M$ thuộc đoạn $A{D}'$, điểm $N$ thuộc đoạn $BD$ sao cho $AM=DN=x,\,\,\,\left( 0 < x < \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)$. Tìm $x$ theo $a$ để đoạn $MN$ ngắn nhất.

Câu 28.(HSG LỚP 12 TỈNH VĨNH LONG)Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ biết tam giác $ABC$ là tam giác cân, $AB=BC=3a$ , $AC=2a$. Các mặt phẳng $(B'AB),\,(B'AC),\,(B'BC)$ cùng tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc ${{60}^{0}}$. Gọi $H$ là hình chiếu của $B'$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ . Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ .

Câu 29.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ là điểm di động trên cạnh $SC$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $AM$ và song song với $BD$. $\left( P \right)$ cắt $SB$, $SD$ lần lượt tại $N$, $E$. Chứng minh $2SB.SM=SN.SM+SC.SN$.

Câu 30.(HSG cấp tỉnh Hà Nội 2016-2017) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$vuông tại $A$. Gọi $M$là trung điểm $BC$. 1) Chứng minh rằng$\widehat{{C}'A{B}'}+\widehat{{B}'AM}+\widehat{MA{C}'}={{180}^{0}}$ . 2) Chứng minh ${{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'A}+{{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'{B}'}+{{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'{C}'}\ge 6$.

Câu 31.(CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC 2017 - 2018) Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{BAD}={{60}^{o}},\,AB=2a.$ Gọi $H$ là trung điểm $AB$ . Trên đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ tại $H$ lấy điểm $S$ thay đổi khác $H$ . Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $BM=\dfrac{1}{4}BC\text{.}$ Khi $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$ Chứng minh đường thẳng $SM$ vuông góc với mặt phẳng $\left( SAD \right)$

Câu 32.(ĐỀ MINH HỌA HSG THANH HÓA 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với $AD//BC$ , $AB=BC=a$ , $AD=2a$ ; tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và$SB=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Chứng minh rằng: $BM$ // $\left( SCD \right)$ .

Câu 33.(HSG cấp tỉnh lớp 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho tứ diện $SABC$có $SA=SB=SC=1$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi luôn đi qua trọng tâm $G$ của tứ diện, cắt các cạnh $SA,\,\,SB,\,\,SC$ lần lượt tại các điểm $A',\,\,B',\,\,C'$. Chứng minh rằng biểu thức$T=\dfrac{1}{SA'}+\dfrac{1}{SB'}+\dfrac{1}{SC'}$ có giá trị không đổi.

Câu 34.(ĐỀ MINH HỌA HSG THANH HÓA 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với $AD//BC$ , $AB=BC=a$ , $AD=2a$ ; tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và$SB=a\sqrt{3}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$ , $H$ là giao điểm của $BG$ và mp $\left( SAC \right)$ , tính tỉ số $\dfrac{HB}{HG}$.

Câu 35.(HỌC SINH GIỎI QUẢNG NGÃI 2016-2017)Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,\,AD=b\left( a,b > 0 \right)$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy$(ABCD)$ và $SA=2a$. Lấy điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x$ với $0 < x < 2a$ .Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(MBC)$.

Câu 36.Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$vuông tại $A$. Gọi $M$là trung điểm BC. 1) Chứng minh rằng $\widehat{{C}'A{B}'}+\widehat{{B}'AM}+\widehat{MA{C}'}={{180}^{0}}$ . 2) Chứng minh ${{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'A}+{{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'{B}'}+{{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'{C}'}\ge 6$.

Câu 37.(HSG12 Hà Nội – năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$vuông tại $A$. Gọi $M$là trung điểm BC. 1) Chứng minh rằng $\widehat{{C}'A{B}'}+\widehat{{B}'AM}+\widehat{MA{C}'}={{180}^{0}}$ . 2) Chứng minh ${{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'A}+{{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'{B}'}+{{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'{C}'}\ge 6$.

Câu 38.(HSG Quảng Ngải 16-17) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,\,AD=b\left( a,b > 0 \right)$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy$(ABCD)$ và $SA=2a$. Lấy điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x$ với $0 < x < 2a$ . Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(MBC)$.

Câu 39.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại$B,\,AB=8,$ $BC=6.$ Biết $SA=6$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tìm bán kính mặt cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp $S.ABC$.