| Câu 1.(HỌC SINH GIỎI QUẢNG NGÃI 2016-2017) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,\,AD=b\left( a,b > 0 \right)$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy$(ABCD)$ và $SA=2a$. Lấy điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x$ với $0 < x < 2a$ .) Xác định $x$ để mặt phẳng $(MBC)$ chia khối chóp$S.ABCD$ thành hai phần có thể tích bằng nhau. |
| Câu 2.(HSG tỉnh Bình Phước 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB=AD=a$, $CD=2a$. Biết rằng hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $\left( SBC \right)$ và mặt đáy bằng ${{45}^{0}}$. Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$. |
| Câu 3.(HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017) 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là trung điểm của $OC$. Góc giữa mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$. |
| Câu 4.(HSG Quảng Ngải 16-17) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,\,AD=b\left( a,b > 0 \right)$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy$(ABCD)$ và $SA=2a$. Lấy điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x$ với $0 < x < 2a$ . Xác định $x$ để mặt phẳng $(MBC)$ chia khối chóp$S.ABCD$ thành hai phần có thể tích bằng nhau. |
| Câu 5.(HSG Tỉnh Thái Bình – Năm 2017 – 2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh bằng $a$ , $\widehat{ABC}=60{}^\circ $, $SA=SB=SC$, $SD=2a$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SB$ tại $K$. $\left. 2 \right)$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích ${{V}_{1}}$; ${{V}_{2}}$ trong đó ${{V}_{1}}$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $S$. Tính $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$. |
| Câu 6.(HSG cấp tỉnh lớp 12 Hòa Bình2016-2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,tam giác SAD đều và mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và DC. a) Tính thể tích khối tứ diện SMCN b) Chứng minh rằng đường thẳng AM vuông góc với (SBN) |
| Câu 7.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017) Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}$ $=\widehat{DAB}=60{}^\circ $ , các cạnh $\,AB=8\text{(}cm\text{)}$ , $AC=9\text{(}cm\text{)},$ $AD=10\text{(}cm\text{)}.$ Gọi ${{A}_{1}},\,{{B}_{1}},\,{{C}_{1}},\,{{D}_{1}}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,\,$ $ACD,\,$ $ABD,\,$ $ABC.$ b) Tính thể tích khối tứ diện ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.$ |
| Câu 8.(HSG cấp tỉnh Phú Thọ2017-2018) Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa đường thẳng $B'C$ và mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . |
| Câu 9.(HSG LỚP 12 TỈNH VĨNH LONG)Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ biết tam giác $ABC$ là tam giác cân, $AB=BC=3a$ , $AC=2a$. Các mặt phẳng $(B'AB),\,(B'AC),\,(B'BC)$ cùng tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc ${{60}^{0}}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$. |
| Câu 10.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Trong không gian cho $4$ đường thẳng ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$, ${{d}_{3}}$, ${{d}_{4}}$ đôi một song song và không có $3$ đường nào nằm trong cùng một mặt phẳng. Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt $4$ đường thẳng ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$, ${{d}_{3}}$, ${{d}_{4}}$ theo thứ tự là $A$, $B$, $C$, $D$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ cắt $4$ đường thẳng ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$, ${{d}_{3}}$, ${{d}_{4}}$ theo thứ tự là ${A}'$, ${B}'$, ${C}'$, ${D}'$ ($\left( Q \right)$ khác $\left( P \right)$). Chứng minh thể tích của hai khối đa diện ${D}'ABC$ và $D{A}'{B}'{C}'$ bằng nhau. |
| Câu 11.(SỞ GD&ĐT HÀ NAM NĂM HỌC 2016- 2017 LỚP 12) Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD}={{60}^{{}^\circ }}$, $A'A=A'B=A'D$. Cạnh bên $AA'$ hợp với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc ${{60}^{{}^\circ }}$. Tính theo $a$ thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $BC$, $AD'$. |
| Câu 12.(HSG TỈNH LỚP 12 SỞ BẮC GIANG NĂM 2016 – 2017) Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi, $\widehat{ABC} > 90^\circ$. Góc giữa hai mặt phẳng $(A'BC)$ và $(ABCD)$ bằng $45^\circ$; khoảng cách từ điểm $C'$ đến mặt phẳng $(A'CD)$ bằng $a$. Gọi $E$ là trung điểm cạnh $CD$. Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $AA'DE$. |
| Câu 13.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh bên bằng $2a$ , đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , $AB=a$ , $AC=a\sqrt{3}$ . Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm của$BC$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là: A. $\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$. B. $\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$. C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$. D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$. |
| Câu 14.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ . Mặt phẳng $(A{B}'{C}')$ tạo với mặt đáy góc $60{}^\circ $ . Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là: A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$. B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$. C. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$. D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$. |
| Câu 15.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc hạ từ $A'$ xuống $\left( ABC \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ hợp với mặt phẳng đáy góc ${{45}^{o}}.$ Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ |
| Câu 16.(HSG Bắc Giang năm 2016 – 2017) Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc hạ từ $A'$ xuống $\left( ABC \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ hợp với mặt phẳng đáy góc ${{45}^{o}}.$ Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ |
| Câu 17.(HSG cấp tỉnh Bắc Giang 2016-2017) Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi,$\widehat{ABC} > {{90}^{0}}$.Góc giữa $A'C$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}$,góc giữa 2 mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{0}}$,khoảng cách từ điểm C’ đến $\left( A'CD \right)$ bằng $a$ .Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $CD$ .Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A'ADE$ |
| Câu 18.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Cho tứ diện $ABCD$, $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác $BCD$. Qua $M$ket các đường thẳng lần lượt song song $AB,AC$ và $AD$ cắt các mặt $\left( ACD \right),\left( ABD \right)$ và $\left( ABC \right)$ tại các điểm $H,I$ và $K$. Chứng minh $AB.AC.AD\ge 27MH.MI.MK$. |
| Câu 19.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2017-2018) Cho mặt cầu có tâm $O$ và bán kính $\mathscr{R}$ . Từ một điểm $S$ bất kỳ trên mặt cầu ta dựng ba cát tuyến bằng nhau, cắt mặt cầu tại các điểm $A,B,C$ ( khác với $S$ ) và$\widehat{ASB}=$ $\widehat{BSC}=$ $\widehat{CSA}=\alpha $. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $\mathscr{R}$ và $\alpha $ . Khi $\alpha $ thay đổi, tìm $\alpha $ để thể tích khối chóp $S.ABC$ lớn nhất. |
| Câu 20.(HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, góc $\widehat{BAD}={{120}^{0}}$, $BD=a > 0$, cạnh bên$SA$ vuông góc mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Điểm $K$ thay đổi trên đoạn $SC$. a) Tìm các vị trí của $K$ sao cho tam giác $BKD$ lần lượt có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất. b) Khi $K$ là điểm sao cho diện tích tam giác $BKD$ nhỏ nhất. Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện do mặt phẳng $\left( BKD \right)$ chia khối chóp $S.ABCD$. |
| Câu 21.(HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=A{A}'=a$. Điểm $M$ thay đổi trên đường thẳng $A{B}'$ sao cho mặt phẳng qua $M$, vuông góc $AB$ cắt đường thẳng $B{C}'$ tại điểm $N$ trên đoạn $B{C}'$. Xác định vị trí của $M$ để biểu thức $2A{{M}^{2}}+M{{N}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. |
| Câu 22.(HSG cấp tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $SA=SB=SC=a$ và $SD=x$ $\left( a > 0,\,x > 0 \right)$. b)Tính $x$ theo $a$ để thể tích khối chóp $S.ABCD$ lớn nhất. |
| Câu 23.(HSG cấp tỉnh lớp 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Một điểm $M$ di động trên cạnh đáy $BC$( $M$ khác $B$ , $C$ ). Mặt phẳng $(\alpha )$đi qua $M$ đồng thời song song với hai đường thẳng $SB$ , $AC$ . Xác định thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $(\alpha )$ và tìm vị trí điểm $M$ để thiết diện đó có diện tích lớn nhất. |
| Câu 24.(HSG cấp tỉnh Hải Phòng 2016-2017) Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh bên bằng $a,$ góc hợp bởi đường cao $SH$ của hình chóp và mặt bên bằng $\varphi .$ a) Tính theo $a$ và $\varphi $ thể tích của khối chóp $S.ABCD.$ b) Khi $a$ không đổi và $\varphi $ thay đổi, tìm $\varphi $ để thể tích khối chóp $S.ABCD$ đạt giá trị lớn nhất. |
| Câu 25.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2016-2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a\sqrt{3}$. Điểm M thay đổi thuộc cạnh BC (M khác B, C), điểm N thay đổi thuộc cạnh DC (N khác D, C) sao cho hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) hợp với nhau một góc 450. Tìm vị trí của M, N để tổng thể tích của các khối SABM, SMCN, SADN đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó? |
| Câu 26.(HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017) 2. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $2$, góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $\alpha $. Tìm giá trị của $\cos \alpha $ để thể tích khối chóp $S.ABCD$ nhỏ nhất. |
| Câu 27.(HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017) 3. Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh bằng $a$. Lấy điểm $M$ thuộc đoạn $A{D}'$, điểm $N$ thuộc đoạn $BD$ sao cho $AM=DN=x,\,\,\,\left( 0 < x < \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)$. Tìm $x$ theo $a$ để đoạn $MN$ ngắn nhất. |
| Câu 28.(HSG LỚP 12 TỈNH VĨNH LONG)Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ biết tam giác $ABC$ là tam giác cân, $AB=BC=3a$ , $AC=2a$. Các mặt phẳng $(B'AB),\,(B'AC),\,(B'BC)$ cùng tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc ${{60}^{0}}$. Gọi $H$ là hình chiếu của $B'$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ . Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ . |
| Câu 29.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ là điểm di động trên cạnh $SC$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $AM$ và song song với $BD$. $\left( P \right)$ cắt $SB$, $SD$ lần lượt tại $N$, $E$. Chứng minh $2SB.SM=SN.SM+SC.SN$. |
| Câu 30.(HSG cấp tỉnh Hà Nội 2016-2017) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$vuông tại $A$. Gọi $M$là trung điểm $BC$. 1) Chứng minh rằng$\widehat{{C}'A{B}'}+\widehat{{B}'AM}+\widehat{MA{C}'}={{180}^{0}}$ . 2) Chứng minh ${{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'A}+{{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'{B}'}+{{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'{C}'}\ge 6$. |
| Câu 31.(CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC 2017 - 2018) Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{BAD}={{60}^{o}},\,AB=2a.$ Gọi $H$ là trung điểm $AB$ . Trên đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ tại $H$ lấy điểm $S$ thay đổi khác $H$ . Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $BM=\dfrac{1}{4}BC\text{.}$ Khi $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$ Chứng minh đường thẳng $SM$ vuông góc với mặt phẳng $\left( SAD \right)$ |
| Câu 32.(ĐỀ MINH HỌA HSG THANH HÓA 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với $AD//BC$ , $AB=BC=a$ , $AD=2a$ ; tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và$SB=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Chứng minh rằng: $BM$ // $\left( SCD \right)$ . |
| Câu 33.(HSG cấp tỉnh lớp 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho tứ diện $SABC$có $SA=SB=SC=1$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi luôn đi qua trọng tâm $G$ của tứ diện, cắt các cạnh $SA,\,\,SB,\,\,SC$ lần lượt tại các điểm $A',\,\,B',\,\,C'$. Chứng minh rằng biểu thức$T=\dfrac{1}{SA'}+\dfrac{1}{SB'}+\dfrac{1}{SC'}$ có giá trị không đổi. |
| Câu 34.(ĐỀ MINH HỌA HSG THANH HÓA 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với $AD//BC$ , $AB=BC=a$ , $AD=2a$ ; tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và$SB=a\sqrt{3}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$ , $H$ là giao điểm của $BG$ và mp $\left( SAC \right)$ , tính tỉ số $\dfrac{HB}{HG}$. |
| Câu 35.(HỌC SINH GIỎI QUẢNG NGÃI 2016-2017)Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,\,AD=b\left( a,b > 0 \right)$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy$(ABCD)$ và $SA=2a$. Lấy điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x$ với $0 < x < 2a$ .Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(MBC)$. |
| Câu 36.Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$vuông tại $A$. Gọi $M$là trung điểm BC. 1) Chứng minh rằng $\widehat{{C}'A{B}'}+\widehat{{B}'AM}+\widehat{MA{C}'}={{180}^{0}}$ . 2) Chứng minh ${{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'A}+{{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'{B}'}+{{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'{C}'}\ge 6$. |
| Câu 37.(HSG12 Hà Nội – năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$vuông tại $A$. Gọi $M$là trung điểm BC. 1) Chứng minh rằng $\widehat{{C}'A{B}'}+\widehat{{B}'AM}+\widehat{MA{C}'}={{180}^{0}}$ . 2) Chứng minh ${{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'A}+{{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'{B}'}+{{\tan }^{2}}\widehat{M{A}'{C}'}\ge 6$. |
| Câu 38.(HSG Quảng Ngải 16-17) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,\,AD=b\left( a,b > 0 \right)$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy$(ABCD)$ và $SA=2a$. Lấy điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x$ với $0 < x < 2a$ . Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(MBC)$. |
| Câu 39.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại$B,\,AB=8,$ $BC=6.$ Biết $SA=6$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tìm bán kính mặt cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp $S.ABC$. |
0 nhận xét:
Đăng nhận xét