Câu 4. [HSG cấp trường Dân tộc nội trú Yên Bái 2019-2020] Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm $I\left( \dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ cắt $AB,\text{ }AC$ lần lượt tại $D,E$ $\left( D\ne B,E\ne C \right)\,.$ Cho phương trình ngoại tiếp tam giác $IBC$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+y+3=0$ và phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-4=0$. Tìm tọa độ điểm $A$ .

*Tọa độ điểm $D,\,\,E$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+y+3=0 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-4=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{align} & x=3 \\ & y=2 \\ \end{align} \right. \\ \left\{ \begin{align} & x=\dfrac{3}{2} \\ & y=\dfrac{-5}{2} \\ \end{align} \right. \\ \end{matrix} \right.$
Không mất tính tổng quát giả sử $D\left( 3;2 \right)$ và $E\left( \dfrac{3}{2};-\dfrac{5}{2} \right)\,.$
Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$, $F$ là điểm đối xứng với $E$ qua điểm $K,$ $S$ là điểm đối xứng với $B$ qua điểm $I\,.$ Khi đó $K\left( 3;-\dfrac{1}{2} \right)$, $F\left( \dfrac{9}{2};\dfrac{3}{2} \right)$.
*Ta cần chứng minh: $IF//AB$ .
Ta có: $\widehat{AEI}$ $=\dfrac{1}{2}sd\overset\frown{IEC}$ $=\widehat{IBC}$ $\left( 1 \right)$
Mặt khác: $\widehat{IBC}$ $=\widehat{SAC}$ $=\dfrac{1}{2}sd\overset\frown{SC}$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$;$\left( 2 \right)$ suy ra: $\widehat{AEI}=\widehat{SAC}$ nên $EI//SA$.
Ta có: $\left\{ \begin{align} & EI\,\bot IF \\ & SA\bot AB \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow IF//AB$
* Ta có: $\overrightarrow{IF}=\left( 4;2 \right)$ $\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{AB}}=\left( 1;-2 \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB.$
Phương trình đường thẳng $AB$ là: $1\left( x-3 \right)-2\left( y-2 \right)=0$ $\Leftrightarrow x-2y+1=0$.
Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{align} & x-2y+1=0 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-4=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{align} & x=3 \\ & y=2 \\ \end{align} \right.\left( l \right) \\ \left\{ \begin{align} & x=-1 \\ & y=0 \\ \end{align} \right. \\ \end{matrix} \right.$
Vậy tọa độ điểm $A$ là $A\left( -1;0 \right).$