Tọa độ Oxy và hình học phẳng trong đề thi HSG toán 12 năm 2017-2018

Câu 1.(HSG Tỉnh ĐĂKLẮC 2017-2018)Cho đường tròn $({{C}_{1}})$ tâm $I$. Lấy điểm $O$ trên $({{C}_{1}})$ dựng đường tròn $({{C}_{2}})$ tâm $O$ sao cho $({{C}_{2}})$ cắt $({{C}_{1}})$tại $C$ và $D$. Tiếp tuyến với $({{C}_{2}})$ tại $C$ cắt $({{C}_{1}})$ tại $A$ và tiếp tuyến với$({{C}_{1}})$ tại $C$ cắt $({{C}_{2}})$ tại $B$. Đường thẳng $AB$ cắt $({{C}_{1}})$ tại $F$ ( $F\ne A$ ) và cắt $({{C}_{2}})$ tại $E$ ( $E\ne B$ ) . Đường thẳng $CE$ cắt $({{C}_{1}})$ tại $G$ ( $G\ne C$ ). Đường thẳng $CF$ cắt đường thẳng $GD$ tại $H$. Chứng minh $CG//FD$.

Câu 2.(HSG Quảng Nam 2016 2017)Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O; I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC.Gọi M và N lần lượt nằm trên DJ và DC sao cho: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NC}+2\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$ . Chứng minh rằng: B, M, N thẳng hàng.

Câu 3.(HSG Quảng Nam 2016 2017) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O; I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của ∆OAB và ∆OCD. Chứng minh HK vuông góc với IJ.

Câu 4.(HSG cấp tỉnh Long An 2016-2017) Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $(AB < AC)$, dựng về phía ngoài tam giác $ABC$ các tam giác $ABD$ vuông cân tại $A$, tam giác $ACE$ vuông cân tại $A$. Gọi $I$ là giao điểm của $BE$ và $CD$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $DE$. Chứng minh rằng: $AI\parallel MN$.
Câu 5.(HSG tỉnh Bình Phước 2017-2018) Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$, một đường thẳng $d$ không có điểm chung với đường tròn $\left( O \right)$ và $d$ vuông góc với $AB$ kéo dài tại $K$ ( $B$ nằm giữa $A$ và $K$). Gọi $C$là một điểm nằm trên đường tròn $\left( O \right)$, ( $C$ nằm giữa $A$ và $B$). Gọi $D$ là giao điểm của $AC$ và $d$, từ $D$ kẻ tiếp tuyến $DE$ với đường tròn ( $E$ là tiếp điểm và $E$,$C$ nằm về hai phía của đường kính $AB$). Gọi $F$ là giao điểm của $EB$ và $d$, $G$ là giao điểm của $AF$ và $\left( O \right)$, $H$ là điểm đối xứng của $G$ qua $AB$. Chứng minh rằng ba điểm $F$,$C$,$H$ thẳng hàng.

Câu 6.Cho tam giác $ABC$ với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $M$ là một điểm nằm trong tam giác. Gọi ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ là các điểm đối xứng với điểm $M$ lần lượt qua các đường thẳng $AI,BI,CI$. Chứng minh rằng các đường thẳng $A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ đồng quy.

Câu 7.(HSG¬ K12 Bình Thuận 2016 2017) Cho tam giác $ABC$ với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $M$ là một điểm nằm trong tam giác. Gọi ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ là các điểm đối xứng với điểm $M$ lần lượt qua các đường thẳng $AI,BI,CI$. Chứng minh rằng các đường thẳng $A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ đồng quy.

Câu 8.(HSG12 cấp tỉnh GIA LAI 2014-2015)Cho tam giác $ABC$ , trên các cạnh $BC,\text{ }CA,\text{ }AB$ lần lượt lấy các điểm ${{A}_{1}},\text{ }{{B}_{1}},\text{ }{{C}_{1}}$ sao cho $3$ đường thẳng $A{{A}_{1}},\text{ }B{{B}_{1}},\text{ }C{{C}_{1}}$ đồng quy tại $M$ . Gọi ${{S}_{1}},\text{ }{{S}_{2}},\text{ }{{S}_{3}}$ lần lượt là diện tích tam giác $MBC,\text{ }MCA,\text{ }MAB$ và $\mathscr{R}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Chứng minh rằng: $\sqrt{\dfrac{{{S}_{1}}}{BC}}+\sqrt{\dfrac{{{S}_{2}}}{CA}}+\sqrt{\dfrac{{{S}_{3}}}{AB}}\le \sqrt{3R-R\left( {{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C \right)}$

Câu 9.(HSG Tỉnh Gia Lai 2014 - 2015) Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A¬1, B1, C1 sao cho 3 đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại M. Gọi S1, S2, S3lần lượt là diện tích tam giác MBC, MCA, MAB và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: $\sqrt{\dfrac{{{S}_{1}}}{BC}}+\sqrt{\dfrac{{{S}_{2}}}{CA}}+\sqrt{\dfrac{{{S}_{3}}}{AB}}\le \sqrt{3R-R\left( {{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C \right)}$

Câu 10.(HSG tỉnh Lào Cai 2016-2017) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hình chữ nhật $ABCD$ , gọi $M$ là trung điểm của $AB$ . Đường thẳng $d$ đi qua $M$ và $d$ có phương trình $x-2y+2=0$ . Biết $A\left( 1;4 \right)$ và $C$ nằm trên đường thẳng $\Delta $ $:x+y-5=0$ và hoành độ điểm $C$ lớn hơn $3$ . Tìm tọa độ các đỉnh $B$ , $C$ , $D$ .

Câu 11.(HSG Quảng Nam 2016 2017) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho tam giác ABC vuông tại A, H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC; D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC; I là giao điểm của AH và DE. Điểm A nằm trên đường thẳng ∆ có phương trình $2x-3y-4=0$ , phương trình đường thẳng DE là $3x+y-2=0;\,\,M\left( -\dfrac{7}{4};-\dfrac{5}{4} \right)$ là trung điểm của BC, I có hoành độ nhỏ hơn 1, E có hoành độ dương và tứ giác ADHE có diện tích bằng 4. Tìm tọa độ 4 điểm A, D, H, E.

Câu 12.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2013-2014) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông $ABCD$ với $M,N$ lần lượt là trung điểm của đoạn $AB$ và $BC$ . Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $B$ xuống $CM$ . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông $ABCD$ biết $N(-1;-\dfrac{5}{2}),\,H(-1;0)$ và điểm $D$ nằm trên đường thẳng $(d):\,x-y-4=0$ .

Câu 13.(HSG CẤP TỈNH TOÁN 12 – NH 16-17 THANH HÓA) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$. Gọi $G$ là điểm thuộc đoạn $BD$ sao cho $BD=4BG$, $M$ là điểm đối xứng với $A$ qua $G$. Hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên các đường thẳng $BC$, $CD$ lần lượt là $H\left( 10;6 \right)$ và $K\left( 13;4 \right)$. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$ biết rằng đường thẳng $BD$ đi qua điểm $E\left( 1;2 \right)$.

Câu 14.(CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC 2017 - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hình vuông $ABCD$ , đường tròn đường kính $AM$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $B$ , $M(5;7)$ và cắt đường chéo $BD$ tại $N(6;2)$, đỉnh $C$ thuộc đường thẳng $d:2x-y-7=0$. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông $ABCD$ , biết hoành độ đỉnh $C$ nguyên và hoành độ $A$ bé hơn $2$ .

Câu 15.(HSG Cao Bằng 2017-2018) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$. Điểm $M\left( -3;0 \right)$ là trung điểm của cạnh $AB$, điểm $H\left( 0;-1 \right)$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AD$ và điểm $G\left( \dfrac{4}{3};3 \right)$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Tìm tọa độ các điểm $B,D$.

Câu 16.(HSG cấp Thành phố Cần Thơ 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H\left( 3;0 \right)$ và trung điểm của $BC$ là $I\left( 6;1 \right)$. Đường thẳng $AH$ có phương trình là $x+2y-3=0.$ Gọi $D,\,E$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC.$ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ biết đường thẳng $DE$ có phương trình $x-2=0$ và điểm $D$ có tung độ dương.

Câu 17.(HSG cấp tỉnh lớp 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Các điểm $M,\,N$lần lượt thuộc các cạnh $AB,\,AC$ sao cho $AM=AN$($M,\,N$ không trùng với các đỉnh của tam giác). Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua $A$và vuông góc với $BN$cắt cạnh $BC$tại $H\left( \dfrac{6}{5};-\dfrac{2}{3} \right)$ , đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua $M$vàvuônggóc với $BN$cắt cạnh $BC$ tại $K\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{2}{3} \right)$ . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác $ABC,$biết rằng đỉnh $A$ thuộc đường thẳng $(\Delta ):5x+3y+13=0$ và có hoành độ dương.

Câu 18.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho hình chữ nhật $ABCD.$ Gọi $G$ là điểm thuộc đoạn $BD$ sao cho $BD=4BG,$ $M$là điểm đối xứng của điểm $A$ qua $G.$ Hình chiếu vuông góc của điểm $M$trên các đường thẳng $BC,\,CD$ lần lượt là $H(10;6)\,$và $K(13;4)\,.$ Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$ biết rằng đường thẳng $BD$ đi qua điểm $E(1;2).$

Câu 19.(HSG cấp tỉnh Long An 2016-2017) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H(2;2)$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $I(1;2)$. Gọi $M\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2} \right)$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tìm tọa độ các đỉnh của $\Delta ABC$ biết ${{x}_{B}} > {{x}_{C}}$.

Câu 20.(HSG cấp tỉnh Hải Phòng 2016-2017) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $D$, biết$D\left( 2;\text{ }2 \right),\text{ }CD=2AB.$ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $D$ lên đường chéo $AC.$ Điểm $M\left( \dfrac{22}{5};\text{ }\dfrac{14}{5} \right)$ là trung điểm của $HC.$ Tìm tọa độ các đỉnh$A,\text{ }B$ và $C$ biết rằng đỉnh $B$ thuộc đường thẳng $d:x-2y+4=0.$

Câu 21.(HSG cấp tỉnh lớp 12 Hòa Bình2016-2017) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh $B\left( 3;3 \right)$.Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$ và $CD$.Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD, biết A thuộc đường thẳng $\Delta :x+y-2=0$ và $H\left( \dfrac{11}{5};\dfrac{7}{5} \right)$ là giao điểm của AM và BN

Câu 22.(HỌC SINH GIỎI QUẢNG NGÃI 2016-2017) Cho tam giác $ABC$vuông cân tại $A$, có trọng tâm $G$. Gọi $E,H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC$; $D$là điểm đối xứng với $H$ qua $A,I$là giao điểm của đường thẳng $AB$ và đường thẳng $CD$. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác biết điểm $D\left( -1;\,-1 \right)$, đường thẳng $IG$có phương trình $6x-3y-7=0$ và điểm $E$ có hoành độ bằng $1$.

Câu 23.(HSG Quảng Ngải 16-17)Cho tam giác $ABC$vuông cân tại $A$, có trọng tâm $G$. Gọi $E,H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC$; $D$là điểm đối xứng với $H$ qua $A,I$là giao điểm của đường thẳng $AB$ và đường thẳng $CD$. Biết điểm $D\left( -1;\,-1 \right)$, đường thẳng $IG$có phương trình $6x-3y-7=0$ và điểm $E$ có hoành độ bằng $1$. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.

Câu 24.(HSG cấp tỉnh Sơn La 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(-1;-1)$ và đường tròn
$(T):{{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=25$. Gọi $B,\,C$ là hai điểm thuộc đường tròn $(T)$ ($B$ và $C$ khác $A$) . Viết phương trình đường thẳng $BC$biết $I(1;1)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Câu 25.(HSG cấp tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=5$ và điểm $M\left( 6;2 \right)$.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua $M$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=50$.

Câu 26.(HSG12 cấp tỉnh GIA LAI 2014-2015)
Trong mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ , cho tam giác $ABC$ với đường cao $AH$ có phương trình $x-3\sqrt{3}=0$ ; đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh $B$ , $C$ lần lượt có phương trình ${{d}_{1}}:x-\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0,$ $\,\,{{d}_{2}}:x+\sqrt{3}y-4\sqrt{3}=0$ ; bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng $1$ . Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ , biết đỉnh $A$ có tung độ âm.

Câu 27.(HSG Tỉnh Gia Lai 2014 - 2015) Trong mặt phẳng (Oxy), cho tam giác ABC với đường cao AH có phương trình $x-3\sqrt{3}=0$ ; đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh B, C lần lượt có phương trình ${{d}_{1}}:x-\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0,\,\,{{d}_{2}}:x+\sqrt{3}y-4\sqrt{3}=0$ ; bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A có tung độ âm.

Câu 28.(HSG Quảng Nam 2016 2017) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho điểm $A(3;-3)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $x-2y+1=0$ . Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với $d$ tại $B(1;1)$ và đi qua $A$ .

Câu 29.(HSGBẮC NINH – 2016 – 2017) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y={{x}^{2}}-2x$ và elip $\left( E \right)$ có phương trình $\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+{{y}^{2}}=1$ . Chứng minh rằng $\left( P \right)$ cắt $\left( E \right)$ tại bốn điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Viết phương trình đường tròn đi qua bốn điểm đó.

Câu 30.(HSG tỉnh Bình Phước 2017-2018) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $a$ , cho hình vuông $ABCD$ có $A\left( -1; 2 \right)$. Gọi $M$,$N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $CD$ và $AD$, $K$ là giao điểm của $BM$ với $CN$. Viết phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNK$, biết đường thẳng $BM$ có phương trình $2x+y-8=0$ và điểm $B$ có hoành độ lớn hơn $2$.

Câu 31.(HSG K12 Cao Bằng 2016 – 2017) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho ba đường thẳng ${{d}_{1}}:2x+y-3=0$, ${{d}_{2}}:3x+4y+5=0$, ${{d}_{3}}:4x+3y+2=0$. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc ${{d}_{1}}$ và tiếp xúc với ${{d}_{2}}$ và ${{d}_{3}}$.

Câu 32.(HSG cấp tỉnh Bắc Giang 2016-2017) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $d$ có phương trình $x-y+3\sqrt{2}-3=0$ và hai đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-6y+6=0;\left( {{C}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=1$.Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ ,tiếp xúc ngoài với đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ đồng thời $\left( C \right)$ cắt $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ mà $AB\bot d$

Câu 33.( THANH HÓA)Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hình thang $ABCD$ có $B\left( 2;\,4 \right)$, $\widehat{BAD}=90{}^\circ $ và $A,\,C$ thuộc trục hoành. Gọi $E$ là trung điểm của đoạn $AD$, đường thẳng $EC$ đi qua điểm $F\left( -4;\,1 \right)$. Tìm tọa độ các đỉnh $A,\,C,\,D$ biết $EC$ vuông góc với $BD$ và điểm $E$ có tọa độ nguyên.

Câu 34.(HSG tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=5$ và điểm $M\left( 6;2 \right)$.
a) Chứng minh điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right)$.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua $M$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=50$.

Câu 35.( HSG 12 cấp tỉnh ĐỒNG THÁP 2016-2017)Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( T \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25$, đường thẳng $BC$ qua $E\left( 2;\ 1 \right)$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$ và $B$ của tam giác $ABC$. Đường thẳng $HK$ có phương trình $4x-3y+1=0$, điểm $C$ có tung độ dương. Tìm tọa độ hai điểm $B$, $C$.

Câu 36.(HSG cấp tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=5$ và điểm $M\left( 6;2 \right)$.Chứng minh điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right)$.

Câu 37.(ĐỀ MINH HỌA HSG THANH HÓA 2017-2018)Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho đường tròn $(T):\,\,\,2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-2x+2y-1=0$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\,\,x-y+4=0$, ${{d}_{2}}:\,\,6x+4y-1=0.$ Từ một điểm $M$ trên ${{d}_{1}}$ kẻ hai tiếp tuyến phân biệt $MA,\ MB$ tới đường tròn $(T)$ ($A$, $B$ là hai tiếp điểm). Viết phương trình đường thẳng $AB$ biết rằng đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MAB$.

Câu 38.(HSG TỈNH LỚP 12 SỞ BẮC GIANG NĂM 2016 – 2017) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $d$ có phương trình $x-y+3\sqrt{2}-3=0$ và hai đường tròn $(C_1)\colon x^2+y^2+2x-6y+6=0; (C_2)\colon x^2+(y+3)^2=1$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$, tiếp xúc ngoài với đường tròn $(C_1)$, đồng thời $(C)$ cắt $(C_2)$ tại hai điểm $A,B$ phân biệt mà $AB\perp d$.

Câu 39.(HSG12 cấp tỉnh HÒA BÌNH 2017-2018)Trongmặt phẳng hệ trục tọa độ $Oxy$, cho điểm $K\left( -2;-5 \right)$ và đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=10$. Đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm $K$ cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại điểm $A,B$ sao cho dây cung $AB=2\sqrt{5}$. Viết phương trình đường thẳng $AB$.

Câu 40.(HSG cấp tỉnh Đồng Tháp 2016-2017)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( T \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25$, đường thẳng $BC$ qua $E\left( 2\,;\,1 \right)$. Gọi $H,\,K$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$ và $B$ của tam giác $ABC$. Đường thẳng $HK:4x-3y+1=0$, điểm $C$ có tung độ dương. Tìm tọa độ hai điểm $B,\,C$.

Câu 42.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho điểm $M\left( 2;1 \right)$ . Đường thẳng $d$ đi qua $M$ , cắt tia $Ox$ , $Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $d$ là:
A. $2x-y-3=0$ .
B. $x-2y=0$ .
C. $x+2y-4=0$ .
D. $x-y-1=0$ .


Câu 44.( HSG 12 cấp tỉnh ĐỒNG THÁP 2016-2017) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB=4$ km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $BC=7$ km. Người canh hải đăng đi thuyền từ vị trí $A$ đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $6$ km/h, rồi đi xe đạp từ $M$ đến $C$ với vận tốc $10$ km/h (hình vẽ bên). Xác định vị trí $M$ để người đó đến $C$ nhanh nhất.

Câu 45.(HSG LỚP 12 TỈNH VĨNH LONG)Cho $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ , điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $OC$ . Đường thẳng $BI$ lần lượt cắt các đường thẳng $CD$ và $AD$ tại $P,E$ sao cho $BI=PE$ . Chứng minh rằng $\dfrac{AE}{AD}+\dfrac{AD}{AE}=\sqrt{5}$.