Giải hệ phương trìn $\left\{ \begin{align} & 2\sqrt{xy}\left( x+y-1 \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}y\sqrt{{{y}^{2}}+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+1}={{x}^{2}}y-x\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$.

Bài tập được trích trong các đề thi HSG

Câu 3.     [HSG Bình Thuận 2018-2019] Giải hệ phương trình

                                     $\left\{ \begin{align}& 2\sqrt{xy}\left( x+y-1 \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}y\sqrt{{{y}^{2}}+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+1}={{x}^{2}}y-x\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{align} \right.$.

Lời giải

Điều kiện $xy\ge 0$.

Ta có $\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x\,\, > 0$,  $\forall x\in \mathbb{R}$  nên $y=0$ không thõa mãn $\left( 2 \right)$. Do vậy $y\ne 0$. Suy ra $x=0$ không thõa mãn $\left( 1 \right)$.

Nếu $x,y$ cùng âm thì $\left( 1 \right)$ vô lí. Do đó $x,y$ cùng dương.

Khi đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x}^{2}}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)=y\left( \sqrt{{{y}^{2}}+1}-1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}-\dfrac{1}{x}=y\sqrt{{{y}^{2}}+1}-y\,\,\,\,\left( 3 \right)$.

Xét hàm số $f\left( t \right)=t\sqrt{1+{{t}^{2}}}-t$ trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$.

Ta có $f'\left( t \right)=\sqrt{{{t}^{2}}+1}+\dfrac{{{t}^{2}}}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}-1 > 0,\,\,\forall \,t > 0$. Suy ra hàm số $f\left( t \right)$đồng biến trên$\left( 0;+\infty  \right)$.

Khi đó $\left( 3 \right)\Leftrightarrow f\left( \dfrac{1}{x} \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}=y\Leftrightarrow xy=1$.

Thay $xy=1$ vào $\left( 1 \right)$ ta được:

$2\left( x+y-1 \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\,\,\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=y=1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)=\left( 1;1 \right)$.