[HSG cấp trường Dân tộc nội trú Yên Bái 2019-2020] Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & {{y}^{3}}+3y=\left( x+5 \right)\sqrt{x+2} \\ & 2{{x}^{2}}+16=3\left( 2{{y}^{2}}+y\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4} \right) \\ \end{align} \right.$

[HSG cấp trường Dân tộc nội trú Yên Bái 2019-2020] Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & {{y}^{3}}+3y=\left( x+5 \right)\sqrt{x+2} \\ & 2{{x}^{2}}+16=3\left( 2{{y}^{2}}+y\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4} \right) \\ \end{align} \right.$.
Điều kiện: $x\ge -2$.
Xét phương trình ${{y}^{3}}+3y=\left( x+5 \right)\sqrt{x+2}\Leftrightarrow {{y}^{3}}+3y={{\left( \sqrt{x+2} \right)}^{3}}+3\sqrt{x+2}$ (1).
Vì $VP\ge 0$ $\forall x\ge -2$ nên ${{y}^{3}}+3y\ge 0\Leftrightarrow y\ge 0$.
Xét hàm $f\left( t \right)={{t}^{3}}+3t,t\ge 0$.
Nhận thấy ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+3 > 0,\forall t\ge 0$ và $f\left( t \right)$ là hàm số liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$. Suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$.
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow$ $y=\sqrt{x+2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & y\ge 0 \\ & x={{y}^{2}}-2 \\ \end{align} \right.$.
Thế $x={{y}^{2}}-2$ vào phương trình $2{{x}^{2}}+16=3\left( 2{{y}^{2}}+y\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4} \right)$ ta được:
$2{{x}^{2}}+16=6\left( x+2 \right)+3\sqrt{x+2}.\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-6x+4=3\sqrt{x+2}.\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}$
$\Leftrightarrow 2\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)-2\left( x+2 \right)=3\sqrt{x+2}.\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}\text{ }\left( 2 \right)$.
Nhận thấy $x=-2$ không là nghiệm của phương trình nên phương trình $\left( 2 \right)$ tương đương với phương trình $2\dfrac{{{x}^{2}}-2x+4}{x+2}-3\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}-2x+4}{x+2}}-2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}-2x+4}{x+2}}=2 \\ & \sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}-2x+4}{x+2}}=-\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \right.$
Xét phương trình $\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}-2x+4}{x+2}}=2$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+4=4x+8$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x-4=0$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm \sqrt{13}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện).
+) Với $x=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$ thì $y=\sqrt{\dfrac{7+\sqrt{13}}{2}}$.
+) Với $x=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}$ thì $y=\sqrt{\dfrac{7-\sqrt{13}}{2}}$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( x;y \right)=\left( \dfrac{3+\sqrt{13}}{2};\sqrt{\dfrac{7+\sqrt{13}}{2}} \right)$; $\left( x;y \right)=\left( \dfrac{3-\sqrt{13}}{2};\sqrt{\dfrac{7-\sqrt{13}}{2}} \right)$.