Câu 2. [HSG cấp trường Dân tộc nội trú Yên Bái 2019-2020] Giải phương trình $\cos x-2\cos 2x=2\sin x.\cos \left( 2x-\dfrac{5\pi }{6} \right)$

[HSG cấp trường Dân tộc nội trú Yên Bái 2019-2020] Giải phương trình $\cos x-2\cos 2x=2\sin x.\cos \left( 2x-\dfrac{5\pi }{6} \right)$
Ta có: $\cos x-2\cos 2x=2\sin x.\cos \left( 2x-\dfrac{5\pi }{6} \right)$
$\Leftrightarrow \cos x-2\cos 2x=2\sin x.\left( \cos 2x.\cos \dfrac{5\pi }{6}+\sin 2x.\sin \dfrac{5\pi }{6} \right)$
$\Leftrightarrow \cos x-2\cos 2x=2\sin x.\left[ \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\cos 2x.+\dfrac{1}{2}.\sin 2x \right]$ $\Leftrightarrow \cos x-2\cos 2x=-\sqrt{3}\sin x.\cos 2x+\sin x.\sin 2x$ $\Leftrightarrow \cos x-2\cos 2x=-\sqrt{3}\sin x.\cos 2x+2{{\sin }^{2}}x.\cos x$ $\Leftrightarrow \cos x\left( 1-2{{\sin }^{2}}x \right)-2\cos 2x+\sqrt{3}\sin x.\cos 2x=0$ $\Leftrightarrow \cos x.\cos 2x-2\cos 2x+\sqrt{3}\sin x.\cos 2x=0$
$\Leftrightarrow \cos 2x\left( \cos x+\sqrt{3}\sin x-2 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \cos x+\sqrt{3}\sin x-2=0 \\ \end{align} \right.$
+) $\cos 2x=0\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
+) $\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\Leftrightarrow \cos \left( x-\dfrac{\pi }{3} \right)=1\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi }{3}=k2\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Vậy phương trình có các nghiệm là $x=\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2}$ và $x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.