Câu 1. [HSG cấp trường Dân tộc nội trú Yên Bái 2019-2020] Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị là $\left( H \right)$, điểm $A\left( 2;5 \right)$ và đường thẳng $(\Delta ):y=-x+m$ (với m là tham số) 1) Chứng minh $\left( \Delta \right)$ luôn cắt $\left( H \right)$ tại hai điểm phân biệt. 2) Gọi $B,C$ là giao điểm của $\left( \Delta \right)$ và $\left( H \right)$. Chứng minh $AB=AC$ với mọi m. Tìm các giá trị của m để tam giác ABC đều.

Xét phương trình hoành độ: $\dfrac{2x-1}{x+1}=-x+m\,$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+(3-m)x-1-m=0\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\,\,\,\,\left( x\ne -1 \right)$
1) Phương trình $\left( * \right)$ có $\Delta ={{m}^{2}}-2m+13 > 0,\,\,\,\forall m$ nên luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó $\left( \Delta \right)$ luôn cắt $\left( H \right)$ tại hai điểm phân biệt.
2) Giả sử ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( * \right)$. Khi đó ta có hai giao điểm là $B\left( {{x}_{1}};-{{x}_{1}}+m \right),$ $C\left( {{x}_{2}};-{{x}_{2}}+m \right)$. Trung điểm của BC là $H\left( \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{1}}}{2};m-\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2} \right)$ hay $H\left( \dfrac{m-3}{2};\dfrac{m+3}{2} \right)$. Từ đó suy ra $\overrightarrow{AH}\left( \dfrac{m-7}{2};\dfrac{m-7}{2} \right)$ và $\overrightarrow{BC}\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)$
Vậy $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow AH\bot BC\Rightarrow AB=AC$ với mọi m.
$\Delta ABC$ đều $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{\sqrt{3}}{2}BC=AH \\ A\ne H \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \quad \dfrac{3}{4}\cdot 2{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}=\dfrac{{{(m-7)}^{2}}}{2}\quad (m\ne 7)$ $\Leftrightarrow \quad 3\left( {{(m-3)}^{2}}+4(m+1)={{(m-7)}^{2}} \right.$ $\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+8m-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} m=1 \\ m=-5 \\ \end{array}\,\,\,\,\,\left( \begin{array}{*{35}{l}} tm \\ \end{array} \right) \right.$
Kết luận: $m=1;m=-5$