\maid{[tc20]}[T8/505 Toán học & tuổi trẻ số 505, tháng 7 năm 2019]%[EX-TapChi15]%[Bùi Đức Thăng] Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$ ta có bất đẳng thức sau \begin{eqnarray*} (1+\sin^2\dfrac{A}{2})(1+\sin^2\dfrac{B}{2})(1+\sin^2\dfrac{C}{2}) \ge \dfrac{125}{64}. \end{eqnarray*}

Lời giải

Ta có: \begin{eqnarray*} &&\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\\ &\Rightarrow& 1-2\sin^2\dfrac{A}{2}+ 1-2\sin^2\dfrac{B}{2}+1-2\sin^2\dfrac{C}{2}=1+4\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\\ &\Rightarrow& \sin^2\dfrac{A}{2}+\sin^2\dfrac{B}{2}+\sin^2\dfrac{C}{2}+2\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}=1. \end{eqnarray*} Đặt $x=2\sin \dfrac{A}{2}, y=2\sin \dfrac{B}{2}, z=2\sin \dfrac{C}{2}$ thì $x,y,z > 0$ và $x^2+y^2+z^2+xyz=4$.
BĐT cần chứng minh trở thành \begin{align*} &(4+x^2)(4+y^2)(4+z^2) \ge 125\\ \Leftrightarrow& 16(x^2+y^2+z^2)+4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+x^2y^2z^2 \ge 61 \\ \Leftrightarrow& 16(4-xyz)+4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+x^2y^2z^2 \ge 61 \\ \Leftrightarrow& 3+4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+x^2y^2z^2 \ge 16xyz\\ \Leftrightarrow& \dfrac{3}{xyz}+4(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y})+xyz \ge 16.\tag{*} \end{align*} Dễ thấy: $xyz+\dfrac{1}{xyz} \ge 2$. Ta chứng minh \[\dfrac{2}{xyz}+4(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}) \ge14.\tag{1}\] Thật vậy, do $\sin^2\dfrac{A}{2}+\sin^2\dfrac{B}{2}+\sin^2\dfrac{C}{2}=\dfrac{3-(\cos A+\cos B+\cos C)}{2} \ge \dfrac{3}{4}$
Nên \quad $x^2+y^2+z^2 \ge 3$.
Từ \quad $x^2+y^2+z^2+xyz=4$ suy ra $xyz \leq 1 \Rightarrow \dfrac{2}{xyz} \ge 2$.$(2)$
Mặt khác \begin{eqnarray*} (\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y})^2&=&(\dfrac{xy}{z})^2+(\dfrac{yz}{x})^2+(\dfrac{zx}{y})^2+2(x^2+y^2+z^2) \\ &\ge& (x^2+y^2+z^2)+2(x^2+y^2+z^2) \\ &=& 3(x^2+y^2+z^2) \ge 9. \end{eqnarray*} Suy ra $\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y} \ge 3$. $(3)$
Từ $(2)$ và $(3)$ ta thấy $(1)$ được chứng minh và do đó BĐT $(*)$ được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.