\maid{[tc18]}[T6/505 Toán học & tuổi trẻ số 505, tháng 7 năm 2019]%[EX-TapChi15]%[Bùi Đức Thăng] Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình \begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\dfrac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}=x^2-2. \end{eqnarray*}

Lời giải

Xét phương trình \[\sqrt[3]{\dfrac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}=x^2-2.\tag{1}\] ĐK: $\left[ \begin{array}{l}&x \ge 2 \\ &x \leq -2} $$(*)$
Đặt: $ a=\sqrt[3]{\dfrac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}$, $ b=\sqrt[3]{\dfrac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}$. Khi đó: $$\left\{ \begin{array}{l}&a+b=x^2-2 \\ &a^3+b^3=x^3-3x \\&ab=1.\end{array} \right.$$ Ta lại có \begin{align*} &(a+b)^3-3ab(a+b)=a^3+b^3 \\ \Rightarrow& (x^2-2)^3-3(x^2-2)=x^3-3x \\ \Leftrightarrow& x^6-6x^4-x^3+9x^2+3x-2=0 \\ \Leftrightarrow& (x+1)^2(x-2)(x^3-3x+1)=0.\tag{2} \end{align*}

• TH1: $x+1=0 \Leftrightarrow x=-1$: không thỏa mãn ĐK (*).
• TH2: $x-2=0 \Leftrightarrow x=2$: thỏa mãn ĐK (*).
• TH3: $x^3-3x+1=0$.$(3)$

Xét hàm số $f(t)=t^3-3t+1$. Ta có: $f'(t)=3t^2-3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}&t=1 \\&t=-1.}$
Lập bảng biến thiên ta thấy: $f(t) \leq -1, \forall t \leq-2$; $f(t) \ge 3, \forall t \ge 2$.
Do đó $(3)$ không có nghiệm $x \in(-\infty ;-2] \cup[2 ;+\infty)$.
Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm duy nhất $x=2$.