\maid{[tc13]}[T1/505 Toán học & tuổi trẻ số 505, tháng 7 năm 2019] Tìm số nguyên dương $a$ nhỏ nhất sao cho $2a$ là số chính phương và $3a$ là số lập phương.

Lời giải

Theo giả thiết $2a=b^2$ (1) và $3a=c^3$ (2) với $b, c$ là các số nguyên dương. Từ (1) suy ra $b^2$ chia hết cho 2. Đặt $b=2d$, thay vào (1) được $2a=4d^2$, hay là $a=2d^2$ (3). Từ (2) suy ra $c^3$ chia hết cho 3, mà 3 là số nguyên tố nên $c$ chia hết cho 3. Đặt $c=3e$, thay vào (2) được $3a=27e^3$, hay là $a=9e^3$ (4). Từ (3) và (4) có $a=2d^2=9e^3$ (5) với $d, e$ là các số nguyên dương. Do 2 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ (5) thì $e^3$ chia hết cho 2, suy ra $e$ chia hết cho 2. Đặt $e=2k$, thay vào (5) được $a=2d^2=72k^3$ với $k$ là số nguyên dương. Từ đó $d^2=36k^3=6^2k^3$. Điều này xảy ra với số $k$ nhỏ nhất là $k=1, d=6$ và $a=72$. Lúc đó $2a=144=12^2$ và $3a=216=6^3$. Vậy số nguyên dương $a$ nhỏ nhất thỏa mãn đề bài là $a=72$.