\maid{[tc14]}[T2/505 Toán học & tuổi trẻ số 505, tháng 7 năm 2019] Tìm các chữ số $a, b, c, d$ khác 0 và từng đôi một khác nhau sao cho số tự nhiên $\overline{abcda1}$ (chữ số tận cùng là 1) thỏa mãn $\overline{abcda1}-4n=n^2$ trong đó $n$ là số nguyên dương.

Lời giải

Ta có: \[\overline{abcda1}-4n=n^2\Leftrightarrow\overline{abcda1}+4=n^2+4n+4\Leftrightarrow\overline{abcda5}=(n+2)^2\] Do đó $\overline{abcda5}$ là số chính phương có chữ số tận cùng là 5 nên $\overline{abcda5}$ có hai chữ số tận cùng là 25 và $n+2$ có chữ số tận cùng là 5. Suy ra: $a=2\Rightarrow\overline{2bcd25}=(n+2)^2$
$\Rightarrow213425\le(n+2)^2\le298725$
$\Rightarrow465\le(n+2)^2\le545$
$\Rightarrow n+2\in\{465;475;\dots;545\}$
Thử lại ta thấy chỉ có $n+2=525$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó \[\overline{abcda5}=525^2=275625\] Vậy $a=2, b=7, c=5, d=6$.