\maid{[tc15]}[T3/505 Toán học & tuổi trẻ số 505, tháng 7 năm 2019] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ với các hệ số nguyên không âm không lớn hơn 8 và thỏa mãn $P(9)=32078$.

Lời giải

Xét đa thức \[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\] với $a_k\in\mathbb{N}, k=\overline{0,n}, a_k\le8, a_n\not= 0$.
Cách 1. Ta có \[P(9)=a_n.9^n+a_{n-1}.9^{n-1}+\dots+a_1.9+a_0\ge9^n\] mà $P(9)=32078 < 9^5$, nên $9^n < 9^5\Rightarrow n < 5$ mà $n$ là số tự nhiên nên $n\le4$. Vậy $P(x)$ là đa thức có bậc không quá 4 và có dạng \[P(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \] $(a_k\in \mathbb{N}, a_k\le8, k=0;1;2;3;4)$.
Ta có: $P(x)=a_4.9^4+a_3.9^3+a_2.9^2+a_1.9+a_0=9(a_4.9^3+a_3.9^2+a_2.9+a_1)+a_0=32078$
nên $a_0$ là số dư trong phép chia 32078 cho 9, tức là $a_0=2$. Suy ra: \begin{align*} &a_4.9^3+a_3.9^2+a_2.9+a_1=3564\\ \Leftrightarrow\enskip&9(a_4.9^2+a_3.9+a_2)+a_1=3564 \end{align*} nên $a_1$ là số dư trong phép chia 3564 cho 9, tức là $a_1=0$. Suy ra: \begin{align*} &a_4.9^2+a_3.9+a_2=396\\ \Leftrightarrow\enskip&9(a_4.9+a_3)+a_2=396 \end{align*} nên $a_2$ là số dư trong phép chia 396 cho 9, tức là $a_2=0$. Suy ra $a_4.9+a_3=44$ nên $a_3=8$ và $a_4=4$.
Vậy đa thức $P(x)=4x^4+8x^3+2$.
Cách 2. Vì $P(9)=32078$ nên \[a_n.9^n+a_{n-1}.9^{n-1}+\dots+a_1.9+a_0=32078\] với $a_n, a_{n-1,\dots, a_1, a_0}$ là các số tự nhiên không lớn hơn 8. Do đó $a_n, a_{n-1,\dots, a_1, a_0}$ chính là các chữ số của số 32178 được viết trong hệ cơ số 9. Ta có: $32078:9=3564$ dư 2; $3564:9=396$ dư 0; $396:9=44$ dư 0; $44:9=4$ dư 8 nên $32098=\overline{48002_{(9)}}$.
Vậy $a_0=2, a_1=a_2=0, a_3=8, a_4=4, a_k=0$ với $k\ge5$. Từ đó ta tìm được đa thức $P(x)=4x^4+8x^3+2$.