\maid{[tc16]}[T4/505 Toán học & tuổi trẻ số 505, tháng 7 năm 2019] Cho tứ giác lồi $ABCD$. Trung điểm bốn đoạn thẳng $AB, AC, CD, DB$ thứ tự là $M, N, P, Q$. Độ dài bốn cạnh $AB, BC, CD, DA$ thứ tự là $a, b, c, d$. Diện tích của tứ giác $MNPQ$ là $S$. Giả sử hai cạnh đối $AD$ và $BC$ vuông góc với nhau. Chứng minh $$\frac{(c-a)^2-(b-d)^2}{8}\le S\le\frac{(b+d)^2-(c-a)^2}{8}.$$

Lời giải

Theo tính chất đường trung bình, ta có: $$MN\parallel=PQ(\parallel=\frac{1}{2}BC).$$ Suy ra MNPQ là hình bình hành. Hơn nữa, từ $MN\parallel BC, MQ\parallel AD$ và $BC\bot AD$, suy ra $MN\bot MQ$. Do đó $MNPQ$ là hình chữ nhật, nên $$S=MN.MQ=\frac{1}{4}BC.AD=\frac{1}{4}bd.$$ Điều phải chứng minh tương đương với $$\begin{align*} &(a-c)^2-(b-d)^2\le 2bd\le(b+d)^2-(c-a)^2\\ \Leftrightarrow&(a-c)^2-(b^2+d^2)\le 0\le (b^2+d^2)-(a-c)^2\\ \Leftrightarrow&(a-c)^2\le b^2+d^2 \end{align*}$$ Mặt khác, theo tính chất hình chữ nhật ta có: $$b^2+d^2=4(MN^2+MQ^2)=4MP^2\tag{1}.$$ Giả sử $AD$ cắt $BC$ tại $I$, theo giả thiết $\widehat{I}=90^0$, suy ra $2IM=AB=a, 2IP=CD=c$, do đó: $$|a-c|=2|IM-IP|\tag{2}.$$ Từ (1) và (2), điều phải chứng minh tương đương với $|IM-IP|\le MP$ (đúng theo bất đẳng thức tam giác).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $M$ thuộc đoạn $IP$, khi đó $ABCD$ là hình thang và $AD\bot BC$.