Lời giải
Áp dụng BĐT AM-GM cho 5 số dương, ta có: $$x^5+1+1+1+1 \ge 5\sqrt[5]{x^5\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1}.$$ Suy ra $ x^5 \ge 5x-4$. Tương tự: $y^5 \ge 5y-4$; $z^5 \ge 5z-4$. Cộng theo vế ba BĐT này, ta có \begin{eqnarray*} x^5+y^5+z^5 \ge 5(x+y+z)-12. \end{eqnarray*} Vì $x+y+z=3$ nên $x^5+y^5+z^5 \ge 3$.$(1)$.
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$.
Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số dương, ta có: \begin{eqnarray*} &&\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{2}{x+y} \ge 2;\\ &&\dfrac{y+z}{2}+\dfrac{2}{y+z} \ge 2;\\ &&\dfrac{z+x}{2}+\dfrac{2}{z+x} \ge 2. \end{eqnarray*} Cộng theo vế ba BĐT trên và lưu ý $x+y+z=3$, ta có: $$x+y+z+\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{y+z}+\dfrac{2}{z+x} \ge 6.$$ Suy ra $ \dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{y+z}+\dfrac{2}{z+x} \ge 3$.$(2)$
Dễ thấy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.
Áp dụng BĐT AM-GM cho ba số dương, ta có: \[3=x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \leq 1 \Rightarrow \dfrac{10}{xyz} \ge 10.\tag{3}\] Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$.
Cộng theo vế các BĐT $(1),(2),(3)$, ta được: \begin{eqnarray*} P==x^5+y^5+z^5+\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{y+z}+\dfrac{2}{z+x}+\dfrac{10}{xyz} \ge 16. \end{eqnarray*} Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$. Vậy $P_{Min}=16$, giá trị đó đạt được khi $x=y=z=1$.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét