Câu 2.(3 điểm) [HSG chọn đội tuyển quốc gia TỈNH BẾN TRE 2019-2020] Sắp xếp $1650$học sinh (cả nam và nữ) thành 22 hàng ngang và 75 hàng dọc. Biết rằng với hai hàng dọc bất kì, số lần xảy ra hai học sinh trong cùng 1 hàng có cùng giới tính không quá 11. Chứng minh rằng số học sinh nam không vượt quá $928$em.

Gọi ${{a}_{i}}$là số học sinh nam hàng thứ i. Vì có $75$cột nên số học sinh nữ của hàng thứ i là $75-{{a}_{i}}$
Số cặp học sinh cùng hàng và cùng giới tính:
Chọn 2 nam trong số nam cùng hàng: $C_{{{a}_{i}}}^{2}$cách.
Chọn 2 nữ trong số nữ cùng hàng: $C_{75-{{a}_{i}}}^{2}$cách.
Chọn 2 bạn học sinh bất kỳ trong cùng một hàng: $C_{75}^{2}$ cách.
Theo đề bài ta có:
$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{22}{\left( C_{{{a}_{i}}}^{2}+C_{75-{{a}_{i}}}^{2} \right)}\le 11C_{75}^{2}$.
$\Leftrightarrow \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{22}{\left( a_{i}^{2}-75{{a}_{i}} \right)\le -30525\Leftrightarrow \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{22}{{{\left( 2{{a}_{i}}-75 \right)}^{2}}}\le 1650}$
Theo Cauchy-Swatch:
${{\left[ \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{22}{\left( 2{{a}_{i}}-75 \right)} \right]}^{2}}\le 22\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{22}{{{\left( 2{{a}_{i}}-75 \right)}^{2}} < 36300\Leftrightarrow \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{22}{{{a}_{i}}} < \dfrac{191+1650}{2} < 921}$