Xác suất trong các đề thi học sinh giỏi toán 11 năm học 2017-2018

Câu 1.(HSG 11 trường THPT Sông Lô– Vĩnh Phúc 2012-2013)
Hỏi số 16200 có bao nhiêu ước số tự nhiên?

Câu 2. (HSG_NAM ĐỊNH_2011-2012) Từ các chữ số $1;2;3;4;5;6$ có thể lập được bao nhiêu só tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho $3$.

Câu 3.Bàn cờ vua có hình vuông, mỗi cạnh chia thành $8$ ô, tổng cộng có $64$ ô. Một quân xe có thể “ăn trực tiếp” bất kỳ một quân cùng cột hoặc cùng hàng với nó. Giả sử trên bàn cờ có $3$ quân
xe $3$ màu khác nhau, hỏi có bao nhiêu cách đặt $3$ quân xe lên bàn cờ sao cho chúng không “ăn” lẫn nhau?

Câu 4.(HSG 11 – HÀ NAM 2009-2010) Cho thập giác lồi.
a) Tìm số tam giác có ít nhất $1$ cạnh là cạnh của thập giác đó.
b) Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của thập giác đó.

Câu 5.(HSG10_OLYMPIC THÁNG 4 ĐỒNG_NAI_2017-2018)Trong một câu lạc bộ có $100$học sinh, gồm $90$học sinh chơi cầu lông, $80$học sinh chơi bóng bàn và $70$ học sinh chơi đá bóng. Hỏi có ít nhất bao nhiêu học sinh chơi cả ba môn thể thao ?

Câu 6.(HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Từ các chữ số$1;2;3;4$ có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có 2 chữ số 1 và 3 chữ số còn lại khác nhau và khác 1. Tính tổng các số lập được?

Câu 7.(HSG cấp trường lớp 11 – THPT 4 Thọ Xuân – Thanh Hóa – 2011 - 2012)Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.

Câu 8.(HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần.

Câu 9.(HSG cấp trường Diễn Châu 2012-2013) Với các chữ số $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho các chữ số $1,2,3$ đứng kề nhau.

Câu 10.(HSG11_BẮC GIANG_2012-2013) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi chữ số có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần

Câu 11.(HSG cấp tỉnh Hà Nam) Cho thập giác lồi
$a)$ Tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác đó.
$b)$ Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của thập giác đó.

Câu 12.(HSG OLIMPIC 11– Quảng Nam – 2018)
b) Trên hai đường thẳng song song $\Delta$ và $d$ ta lần lượt gắn vào đó $m$ điểm và $n$ điểm sao cho $m+n=17\left( m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$. Tìm $m,n$ để số các tam giác có $3$ đỉnh là $3$ điểm trong $17$ điểm phân biệt ở trên là lớn nhất.

Câu 13.(HSG10_SỞ GD&ĐT_HÀ TĨNH _2016-2017)
Tập hợp $X$ có ${{2}^{n}}\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ phần tử được chia thành các tập con đôi một không giao nhau. Xét quy tắc chuyển phần tử giữa các tập như sau: nếu $A$, $B$ là các tập con của $X$ và số phần tử của $A$ không nhỏ hơn số phần tử của $B$ thì ta được phép chuyển từ tập $A$ vào tập $B$ số phần tử bằng số phần tử của tập $B$ . Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các bước chuyển theo quy tắc trên, ta nhận được tập $X$ .

Câu 14.(HSG THANH HÓA 2018)Cho tập $A=\left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}$ . Có bao nhiêu cách chọn một bộ 3 số phân biệt của $A$ (không tính thứ tự) để hiệu của 2 số bất kỳ trong 3 số đó có giá trị tuyệt đối không nhỏ hơn 2.

Câu 15.(THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Cho hình vuông $ABCD$ và $2018$ đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng. Biết rằng mỗi đường thẳng trong chúng đều chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng $\dfrac{2}{3}$. Chứng minh rằng luôn tìm được $505$ đường thẳng trong chúng cùng đi qua một điểm.

Câu 16.Cho tập hợp $A=\left\{ 1;2;3;...;18 \right\}$. Có bao nhiêu cách chọn ra $5$ số trong tập $A$ sao cho hiệu của hai số bất kì trong $5$ số đó không nhỏ hơn $2$ .

Câu 17.(HSG olympic lớp 11 –Trại hè Hùng Vương lần XIII – Tuyên Quang – 2016 - 2017) Xét $k$là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại$2017$ tập con ${{A}_{1}},\ldots ,{{A}_{2017}}$ của tập $\{0,1,\ldots {{,10}^{2017}}-1\}$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng $k$ phần tử và mỗi phần tử của $\{0,1,\ldots {{,10}^{2017}}-1\}$ đều biểu diễn được dưới dạng ${{x}_{1}}+\cdots +{{x}_{2017}}$ trong đó ${{x}_{i}}\in {{A}_{i}}$ với $i=1,\ldots ,2017$. Hãy xác định giá trị bé nhất của $k$.

Câu 18.(HSG Lớp 10 – SGD Hà Tĩnh - Năm 2016 - 2017) Tập hợp $X$ có ${{2}^{n}}\,\,(n\in {{N}^{*}})$ phần tử được chia thành các tập con đôi một không giao nhau. Xét quy tắc chuyển phần tử giữa các tập như sau: nếu $A,B$ là các tập con của $X$và số phần tử của $A$ không nhỏ hơn số phần tử của$B$thì ta được phép chuyển từ tập $A$ vào tập $B$ số phần tử bằng số phần tử của tập$B$ . Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các bước chuyển theo quy tắc trên, ta nhận được tập$X$.