Câu 3.(3 điểm) [HSG chọn đội tuyển quốc gia TỈNH BẾN TRE 2019-2020] Tìm số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho với $n$ số thực phân biệt ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{n}}$ lấy từ đoạn $\left[ 1;1000 \right]$ luôn tồn tại hai số phân biệt ${{a}_{i}},{{a}_{j}}$ thỏa mãn $0 < {{a}_{i}}-{{a}_{j}} < 1+3\sqrt[3]{{{a}_{i}}{{a}_{j}}}$ với $i,j\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1}\text{,2},...,\text{n }\!\!\}\!\!\text{ }$ .

Sử dụng hằng đẳng thức cơ bản ta có:
$A={{a}_{i}}-{{a}_{j}}-1-3\sqrt[3]{{{a}_{i}}{{a}_{j}}}=\left( \sqrt[3]{{{a}_{i}}}-\sqrt[3]{{{a}_{j}}}-1 \right)\left( \sqrt[3]{{{a}_{i}}^{2}}+\sqrt[3]{{{a}_{j}}^{2}}+1+\sqrt[3]{{{a}_{i}}{{a}_{j}}}+\sqrt[3]{{{a}_{i}}}-\sqrt[3]{{{a}_{j}}} \right)$ (1)
Trước hết ta thấy rằng $\sqrt[3]{{{a}_{i}}^{2}}+\sqrt[3]{{{a}_{j}}^{2}}+1+\sqrt[3]{{{a}_{i}}{{a}_{j}}}+\sqrt[3]{{{a}_{i}}}-\sqrt[3]{{{a}_{j}}}$ luôn dương với mọi ${{\text{a}}_{i}},{{\text{a}}_{j}}$ dương.
Trường hợp $n=10$ , Ta xét các số ${{a}_{1}}={{1}^{3}},{{a}_{2}}={{2}^{3}},...,{{a}_{10}}={{10}^{3}}$ lấy từ đoạn $\left[ 1;1000 \right]$ .
Với $i,j$ phân biệt từ tập $\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1}\text{,2},...,\text{10 }\!\!\}\!\!\text{ }$ , ta dễ thấy $\sqrt[3]{{{a}_{i}}}-\sqrt[3]{{{a}_{j}}} < 0$ nếu $i < j$ , và $\sqrt[3]{{{a}_{i}}}-\sqrt[3]{{{a}_{j}}}-1\ge 0$ nếu $i > j$ . Điều này có nghĩa là $\sqrt[3]{{{a}_{i}}}-\sqrt[3]{{{a}_{j}}} < 0$ hoặc ${{a}_{i}}-{{a}_{j}}-1-3\sqrt[3]{{{a}_{i}}{{a}_{j}}}\ge 0$ . Trái với giả thiết đề bài. Trường hợp $n < 10$ , Ta chọn dãy ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ từ tập hợp $\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{1}^{3}}\text{,}{{\text{2}}^{3}},...,\text{1}{{\text{0}}^{3}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ và lập luận tương tự trên ta cũng dẫn đến mâu thuẫn. Trường hợp $n\ge 11$ , Với ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{n}}$ được lấy từ đoạn $\left[ 1;1000 \right]$ , ta suy ra $\sqrt[3]{{{a}_{1}}},\sqrt[3]{{{a}_{2}}},...,\sqrt[3]{{{a}_{n}}}$ là các giá trị nằm trong đoạn $\left[ 1;10 \right]$ . Mà $n\ge 11$ nên theo nguyên lý Dirichle, tồn tại $i,j$ phân biệt từ tập $\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1}\text{,2},..,\text{n }\!\!\}\!\!\text{ }$ sao cho $\sqrt[3]{{{a}_{i}}}-\sqrt[3]{{{a}_{j}}} > 0$ và $\sqrt[3]{{{a}_{i}}}-\sqrt[3]{{{a}_{j}}}-1 < 0$ , tức là $\sqrt[3]{{{a}_{i}}}-\sqrt[3]{{{a}_{j}}} > 0$ và ${{a}_{i}}-{{a}_{j}}-1-3\sqrt[3]{{{a}_{i}}{{a}_{j}}} < 0$ hay $0 < {{a}_{i}}-{{a}_{j}} < 1+3\sqrt[3]{{{a}_{i}}{{a}_{j}}}$ .
Như vậy $n=11$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn giả thiết đề bài.