Câu 4.(5 điểm) [HSG chọn đội tuyển quốc gia TỈNH BẾN TRE 2019-2020] Gọi các điểm $I,H$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm của tam giác nhọn $ABC$; ${{B}_{1}},{{C}_{1}}$ lần lượt là trung điểm của $AC,AB$; tia ${{B}_{1}}I$ cắt cạnh $AB$ tại ${{B}_{2}}$ $\left( {{B}_{2}}\ne B \right)$, tia ${{C}_{1}}I$ cắt phần kéo dài của $AC$ tại ${{C}_{2}}$, ${{B}_{2}}{{C}_{2}}$ cắt $BC$ tại $K$, ${{A}_{1}}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$. Chứng minh rằng: ba điểm $I,A,{{A}_{1}}$ thẳng hàng khi và chỉ khi ${{S}_{\Delta BK{{B}_{2}}}}={{S}_{\Delta CK{{C}_{2}}}}$ (trong đó ${{S}_{\Delta BK{{B}_{2}}}},{{S}_{\Delta CK{{C}_{2}}}}$ lần lượt là diện tích tam giác $BK{{B}_{2}},CK{{C}_{2}}$).

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Ta có $\widehat{BHC}={{180}^{0}}-\widehat{BAC}$
$\widehat{B{{A}_{1}}C}=2\left( {{180}^{0}}-\widehat{BHC} \right)=2\widehat{BAC}$
Do đó $\widehat{BAC}={{60}^{0}}\Leftrightarrow \widehat{BAC}+\widehat{B{{A}_{1}}C}={{180}^{0}}$
Nên ${{A}_{1}}$ nằm trên đường tròn tâm $O$, suy ra $AI,A{{A}_{1}}$trùng nhau (do ${{A}_{1}}$ nằm trên đường trung trực của cạnh $BC$ )
Vậy ba điểm $I,A,{{A}_{1}}$ thẳng hàng
Ta chứng minh ${{S}_{\Delta BK{{B}_{2}}}}={{S}_{\Delta CK{{C}_{2}}}}\Leftrightarrow \widehat{BAC}={{60}^{0}}$(*)
${{S}_{A{{B}_{1}}{{B}_{2}}}}=\dfrac{1}{2}A{{B}_{2}}.r+\dfrac{1}{2}A{{B}_{1}}.r=\dfrac{1}{2}A{{B}_{2}}.A{{B}_{1}}.\sin \widehat{BAC}$
$\Rightarrow A{{B}_{2}}\left( A{{B}_{1}}.\sin \widehat{BAC}-r \right)=A{{B}_{1}}.r$
$\begin{align} & \Rightarrow A{{B}_{2}}\left( \dfrac{{{S}_{ABC}}}{c}-\dfrac{2{{S}_{ABC}}}{a+b+c} \right)=\dfrac{b}{2}.\dfrac{2{{S}_{ABC}}}{a+b+c} \\ & \Rightarrow A{{B}_{2}}=\dfrac{bc}{a+b-c} \\ \end{align}$
Tương tự $A{{C}_{2}}=\dfrac{bc}{a+c-b}$.
Do đó ta có:
$\begin{align} & {{S}_{\Delta BK{{B}_{2}}}}={{S}_{\Delta CK{{C}_{2}}}}\Leftrightarrow {{S}_{ABC}}={{S}_{A{{B}_{2}}{{C}_{2}}}} \\ & \Leftrightarrow bc=\dfrac{bc}{a+b-c}.\dfrac{bc}{c+a-b} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-bc \\ & \Leftrightarrow \widehat{BAC}={{60}^{0}} \\ \end{align}$
Vậy (*) đúng. Do đó ta có đpcm