Câu 2. [HSG CHUYÊN NGUYỄN DU-ĐĂKLĂK 2019-2020] Cho tứ giác ABCD không phải hình thang, nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại E, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại F. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác AFD và BFC cắt nhau tại điểm thứ hai khác F là K. Chứng minh rằng: a) Ba điểm E, F, K thẳng hàng. b) Các đường thẳng AB, CD, OK đồng quy.

Trích HSG vòng 1 THPT CHUYÊN NGUYỄN DU-ĐĂKLĂK năm 2019-2020

Lời giải

Câu 2. Cho tứ giác ABCD không phải hình thang, nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại E, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại F. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác AFD và BFC cắt nhau tại điểm thứ hai khác F là K. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm E, F, K thẳng hàng.
b) Các đường thẳng AB, CD, OK đồng quy.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hà, Fb: Ha Nguyen

a)


Cách 1:
Gọi ${{K}_{1}}$, ${{K}_{2}}$ lần lượt là giao điểm của $EF$ với $\left( AFD \right)$ và $\left( BFC \right)$.
Do $AF{{K}_{1}}D$ là tứ giác nội tiếp nên ta có: $EA.ED=EF.E{{K}_{1}}$
Do $BF{{K}_{2}}C$ là tứ giác nội tiếp nên ta có: $EB.EC=EF.E{{K}_{2}}$
Mà $ABCD$ là tứ giác nội tiếp nên: $EB.EC=EA.ED$
$\Rightarrow EF.E{{K}_{1}}=EF.E{{K}_{2}}$ $\Rightarrow E{{K}_{1}}=E{{K}_{2}}$ mà $E,\,{{K}_{1}},\,{{K}_{2}}$ thẳng hàng và ${{K}_{1}},\,{{K}_{2}}$ nằm cùng phía với $E$ $\Rightarrow $ ${{K}_{1}}\equiv {{K}_{2}}$
Theo cách dựng ${{K}_{1}}$, ${{K}_{2}}$ $\Rightarrow {{K}_{1}}\equiv {{K}_{2}}\equiv K$ $\Rightarrow E,\,F,\,K$ thẳng hàng.
Cách 2:
Ta có $KF$ chính là trục đẳng phương của 2 đường tròn $\left( AFD \right)$ và $\left( BFC \right)$.
$ABCD$ là tứ giác nội tiếp nên: $\overline{EB}.\overline{EC}=\overline{EA}.\overline{ED}$ mà $\overline{EB}.\overline{EC}$ và $\overline{EA}.\overline{ED}$ lần lượt là phương tích của $E$ với $\left( AFD \right)$ và $\left( BFC \right)$ $\Rightarrow $ $E$ phải nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn trên $\Rightarrow E,\,F,\,K$ thẳng hàng.
b)


Ta chứng minh $AKOB$ và $DKOC$ là các tứ giác nội tiếp.
Ta có: $\widehat{AKB}=\widehat{AKF}+\widehat{FKB}$ $=\widehat{ADF}+\widehat{BCF}$ $=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}+\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}$ $=\widehat{AOB}$ $\Rightarrow $ $AKOB$ là tứ giác nội tiếp.
Ta cũng có: $\widehat{DKC}={{360}^{o}}-\widehat{DKF}-\widehat{CKF}$ $={{360}^{o}}-\left( {{180}^{o}}-\widehat{DAC} \right)-\left( {{180}^{o}}-\widehat{DBC} \right)$
$=\widehat{DAC}+\widehat{DBC}=\widehat{DOC}$ $\Rightarrow $ $DKOC$ là tứ giác nội tiếp.
Gọi $I=AB\cap DC$ ta có $\overline{IB}.\overline{IA}=\overline{ID}.\overline{IC}$  $I$ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AKOB$ và tứ giác$DKOC$nên I, K, O thẳng hàng.Vậy AB, KO và DC đồng quy.