Lời giải
b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& 3{{x}^{3}}+3x=2{{y}^{3}}+2y+2\text{ }(1) \\
& 5{{y}^{5}}+5y=3{{x}^{5}}+3x+4\text{ }(2) \\
\end{align} \right.$ (*).
+ Nếu $x > y$ thì từ (*) ta có
$\left\{ \begin{align}
& 2{{y}^{3}}+2y+2 > 3{{y}^{3}}+3y \\
& 5{{y}^{5}}+5y > 3{{y}^{5}}+3y+4 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& {{y}^{3}}+y-2 < 0 \\ & 2{{y}^{5}}+2y-4 > 0 \\
\end{align} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& \left( y-1 \right)\left( {{y}^{2}}+y+2 \right) < 0 \\ & \left( y-1 \right)\left( {{y}^{4}}+{{y}^{3}}+{{y}^{2}}+y+2 \right) > 0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& y < 1 \\ & y > 1 \\
\end{align} \right.$ (vô lý).
Vì ${{y}^{2}}+y+2 > 0,\forall y\in \mathbb{R}$ và ${{y}^{4}}+{{y}^{3}}+{{y}^{2}}+y+2={{\left( {{y}^{2}}+\dfrac{y}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3{{y}^{2}}}{4}+y+2 > 0,\forall y\in \mathbb{R}$.
+ Nếu $x < y$thì từ (*) ta có $\left\{ \begin{align} & 2{{y}^{3}}+2y+2 < 3{{y}^{3}}+3y \\ & 5{{y}^{5}}+5y < 3{{y}^{5}}+3y+4 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{y}^{3}}+y-2 > 0 \\
& 2{{y}^{5}}+2y-4 < 0 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \left( y-1 \right)\left( {{y}^{2}}+y+2 \right) > 0 \\
& \left( y-1 \right)\left( {{y}^{4}}+{{y}^{3}}+{{y}^{2}}+y+2 \right) < 0 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & y > 1 \\
& y < 1 \\
\end{align} \right.$ (vô lý).
Vậy nếu $\left( x\,;\,y \right)$ là nghiệm của hệ (*) thì $x=y$. Khi đó (*) trở thành
$\left\{ \begin{align}
& 3{{x}^{3}}+3x=2{{x}^{3}}+2x+2 \\
& 5{{x}^{5}}+5x=3{{x}^{5}}+3x+4 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}^{3}}+x-2=0 \\
& 2{{x}^{5}}+2x-4=0 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=1$.
Vậy hệ có nghiện duy nhất $x=y=1$.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét