@Câu 44. [id1391] (HSG11 Hà Tĩnh 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{2{{u}_{n}}}{\sqrt{5{{u}_{n}}+1}+1},n\ge 1,n\in \mathbb{N} \\ \end{align} \right.$. Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}+....+{{u}_{n}}^{2}$. Chứng minh dãy $\left( {{S}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

@Câu 44. [id1391] (HSG11 Hà Tĩnh 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{2{{u}_{n}}}{\sqrt{5{{u}_{n}}+1}+1},n\ge 1,n\in \mathbb{N} \\ \end{align} \right.$. Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}+....+{{u}_{n}}^{2}$. Chứng minh dãy $\left( {{S}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.