@Câu 47. [id1454] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho các số thực dương $a,\,b\,\,\left( a > b \right)$ và hai dãy số $\left\{ {{u}_{n}} \right\};\,\,\left\{ {{v}_{n}} \right\}$ xác định như sau: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=a\,;\,\,{{v}_{1}}=b \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+{{v}_{n}}}{2};\,{{v}_{n+1}}=\sqrt{{{u}_{n}}.{{v}_{n}}}\,,\,\,\forall \,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align} \right.$ . Chứng minh rằng hai dãy $\left\{ {{u}_{n}} \right\};\,\,\left\{ {{v}_{n}} \right\}$ có giới hạn hữu hạn và $\lim {{u}_{n}}=\lim {{v}_{n}}$.

@Câu 47. [id1454] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho các số thực dương $a,\,b\,\,\left( a > b \right)$ và hai dãy số $\left\{ {{u}_{n}} \right\};\,\,\left\{ {{v}_{n}} \right\}$ xác định như sau: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=a\,;\,\,{{v}_{1}}=b \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+{{v}_{n}}}{2};\,{{v}_{n+1}}=\sqrt{{{u}_{n}}.{{v}_{n}}}\,,\,\,\forall \,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align} \right.$ . Chứng minh rằng hai dãy $\left\{ {{u}_{n}} \right\};\,\,\left\{ {{v}_{n}} \right\}$ có giới hạn hữu hạn và $\lim {{u}_{n}}=\lim {{v}_{n}}$.