Chủ đề dãy số trong các đề thi học sinh giỏi phần 3

@Câu 1. [id1408] (HSG11-NGHỆ AN- 2015-2016) Cho dãy số $({{u}_{n}})$ xác định bởi: ${{u}_{1}}=1$, ${{u}_{n+1}}=\dfrac{3}{2}\left( {{u}_{n}}-\dfrac{n+4}{{{n}^{2}}+3n+2} \right)$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Tìm công thức tổng quát ${{u}_{n}}$ theo $n$.

@Câu 2. [id1409] Cho dãy các phân \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots, \frac{1}{2012} ; \frac{1}{2013}\right.$. Người ta biến đổi dãy số bằng cách xóa đi hai số $a,b$ bất kì và thay bằng số mới $a+b+ab$. Sau một lần biến đổi như vậy, số các số hạng của dãy số giảm đi một đơn vị so với dãy trước đó. Chứng minh rằng giá trị của số hạng cuối cùng còn lại sau $2012$ lần biến đổi không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện và hãy tìm giá trị đó.

@Câu 3. [id1410] ( HSG ĐBBB 2017) Cho số thực $a$ và dãy số${{\left( {{x}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}$với${{x}_{0}}=a$và${{x}_{n+1}}=\dfrac{x_{n}^{2}}{2-x_{n}^{2}}$ với mọi số tự nhiên $n$. a)Khi $a=\dfrac{1}{2}$. Chứng minh rằng dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. b)Khi $a\in \left[ 0;1 \right]$. Chứng minh rằng dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

@Câu 4. [id1411] (HSG olympic lớp 11 –Trại hè Hùng Vương lần XIII – Tuyên Quang – 2016 - 2017) Cho dãy số $({{u}_{n}})$ xác định bởi: ${{u}_{1}}=2$ và $(n+1){{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=nu_{n}^{2}+1$ với mọi số nguyên dương $n$. a) Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{{{u}_{1}}}+\dfrac{1}{{{u}_{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{u}_{2017}}}=2018{{u}_{2018}}-2.$ b) Tìm số thực $c$lớn nhất sao cho ${{u}_{n}}\ge c$ với mọi số nguyên dương $n$.

@Câu 5. [id1412] (HSG OLIMPIC 11– Quảng Nam – 2018) Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$biết: ${{u}_{n}}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$.

@Câu 6. [id1413] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định bởi: ${{u}_{1}}=\sin 1\,;\,\,\,{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+\dfrac{\sin n}{{{n}^{2}}}$ , với mọi $n\in \mathbb{N},\,\,n\ge 2$ . Chứng minh rằng dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định như trên là một dãy số bị chặn.

@Câu 7. [id1414] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'.$ Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ khác $A$ và $B$ . Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(ACD').$ Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ . Xác định vị trí của $M$ để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất ?

@Câu 8. [id1415] ( HSG CẨM THỦY 2008 – 2009) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định như sau $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1;\,{{u}_{2}}=2 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{3}{2}{{u}_{n}}-\dfrac{1}{2}{{u}_{n-1}} \\ \end{align} \right.$ , $\forall n\ge 2$ . a)Xác định số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ . b)Tìm $\lim {{u}_{n}}$ .

@Câu 9. [id1416] 2) [ HSG CẨM THỦY 2008 – 2009] Tìm giới hạn sau: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{1+6x}-\sqrt[3]{1+9x}}{{{x}^{2}}}$ .

@Câu 10. [id1417] (HSG cấp tỉnh lớp 11 – Quảng Bình – 2012 - 2013) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định như sau: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2013 \\ & {{u}_{n+1}}=\sqrt[n+1]{u_{n}^{n}+\dfrac{1}{{{2013}^{n}}}}\text{ (}n\ge 1\text{)} \\ \end{align} \right.$ . Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ ?

@Câu 11. [id1418] (HSG 11 – VĨNH LONG 2013-2014) Cho dãy số $({{u}_{n}})$ xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=11 \\ {{u}_{n+1}}=10{{u}_{n}}+1-9n \\ \end{matrix} \right.$ . Tìm công thức tính ${{u}_{n}}$ theo $n$ .

@Câu 12. [id1419] (HSG 11 – HÀ NAM 2016-2017) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định như sau: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n}}=\dfrac{-14{{u}_{n-1}}-51}{5{{u}_{n-1}}+18} \\ \end{align} \right.$ $(n\in \mathbb{N},n\ge 2)$. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right).$

@Câu 13. [id1420] (HSG 11 trường THPT Thạch Thành III – 2017-2018) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}_{+1}=a.{{u}_{n}}+b$ , $n\ge 1$ , $a$ , $b$ là $2$ số thực dương cho trước. Với $n\ge 2,$ tìm ${{u}_{n}}$ theo ${{u}_{1}},a,b$ và $n$ .

@Câu 14. [id1421] (HSG cấp tỉnh lớp 11 –THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2017 - 2018) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=3 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{5{{u}_{n}}-3}{3{{u}_{n}}-1}\begin{matrix} , & n\in \Nu * \\ \end{matrix} \\ \end{align} \right.$ Xét dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ với ${{v}_{n}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{{{u}_{n}}-1}$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Chứng minh dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng. Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$.

@Câu 15. [id1422] (HSG 11 – Hai Bà Trưng-HN 2007-2008) Cho dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$ được xác định bởi: ${{a}_{1}}=1$ và ${{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+2n-1$ với mọi $n\ge 1$. Xét dãy số$\left( {{b}_{n}} \right)$ mà: ${{b}_{n}}={{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}$ với mọi $n\ge 1$. Cho số nguyên dương $N$. Hãy tính tổng $N$ số hạng đầu tiên của dãy số $\left( {{b}_{n}} \right)$ theo $N$. Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$.

@Câu 16. [id1423] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Cho dãy số (un) được xác định bởi $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\sqrt{2} \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{1+2013{{u}_{n}}} \\ \end{align} \right.,n\ge 1$ Tìm số hạng tổng quát un của dãy số trên.

@Câu 17. [id1424] (HSG11 - THPT Lê Quý Đôn – 2013 – 2014) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi ${{u}_{1}}=1$ và ${{u}_{n+1}}=\sqrt{3{{u}_{n}}^{2}+2}$ $,\forall n\in {{N}^{*}}$. a)Xác định số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$. b)Tính tổng $S=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+...+u_{2015}^{2}$

@Câu 18. [id1425] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Tính tổng: $S=1+2.2+{{3.2}^{2}}+{{4.2}^{3}}+...+{{2013.2}^{2012}}$

@Câu 19. [id1426] (HSG cấp trường Diễn Châu 2012-2013) Tìm số hạng tổng quát và tính tổng $100$ số hạng đầu tiên của dãy số $\left\{ {{u}_{n}} \right\}$ xác định bởi ${{u}_{1}}=2013,\ {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+1,\ n\ge 1$.

@Câu 20. [id1427] Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn điều kiện $a_{1}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n}^{2}}{2013}, \quad(n \geq 1)$ 1)Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên. 2)Đặt S_{x}=\sum_{i=1}^{x} \frac{1}{a_{i}+2013}, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} S

@Câu 21. [id1428] (HSG cấp tỉnh Nam Định 2014-2015 – Dự bị) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định như sau: ${{u}_{1}}=1,\,\,{{u}_{2}}=3,\,{{u}_{n+2}}=2{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}+1.$Tính $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{u}_{n}}}{{{n}^{2}}}$.

@Câu 22. [id1429] Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=4 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{9}\left( {{u}_{n}}+4+4\sqrt{1+2{{u}_{n}}} \right)\,\,\,\,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align} \right.$. Tìm công thức số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$của dãy số.

@Câu 23. [id1430] (HSG cấp tỉnh Hà Nam 2013-2014) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định như sau: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2014 \\ & {{u}_{n+1}}=1+{{u}_{1}}{{u}_{2}}...{{u}_{n}} \\ \end{align} \right.\text{ }\left( n\in \mathbb{N}* \right)$. Đặt ${{S}_{n}}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{{{u}_{k}}}}$ . Tìm $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{S}_{n}}$.

@Câu 24. [id1431] (HSG OLIMPIC 11– Quảng Nam – 2018) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{n+1}}=3{{u}_{n}}+{{4}^{n}}$ với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Tìm số hạng tổng quát của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$. Tính $\lim \dfrac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n+1}}}$.

@Câu 25. [id1432] (HSG 11 – VĨNH PHÚC 2013-2014) Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ xác định như sau: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{n+1}}=\sqrt{{{x}_{n}}\left( {{x}_{n}}+1 \right)\left( {{x}_{n}}+2 \right)\left( {{x}_{n}}+3 \right)+1} \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\left( n=1,\,2,\,3.... \right)$ Đặt ${{y}_{n}}=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{{{x}_{i}}+2}\,\,\left( n=1,\,2,\,3....... \right)}$. Tính $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}$

@Câu 26. [id1433] Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ xác định như sau:$\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=2 \\ & {{x}_{n+1}}=\dfrac{3{{x}_{n}}}{{{x}_{n}}+2} \\ \end{align} \right.$ $\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$. Tìm công thức tính ${{x}_{n}}$ theo $n$.

@Câu 27. [id1434] Cho dãy số $(u_n)$ biết $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=1} \\ {u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{2}+\frac{1}{2^{n}}}}\end{array}, n \in \mathbb{N} \text { . Tính } \lim u\right.$

@Câu 28. [id1435] (HSG 11 trường THPT Quỳnh Lưu II – Nghệ An 2011-2012) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi : $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=0 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{2-{{u}_{n}}} \\ \end{align} \right.$; $\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty $. Tìm giới hạn đó .

@Câu 29. [id1436] (HSG 11 trường THPT Quỳnh Lưu II – Nghệ An 2011-2012) Cho $\left\{ \begin{matrix} x,y,z > 0 \\ x+y+z=xyz \\ \end{matrix} \right.$ . Chứng minh rằng $\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{y}^{2}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{z}^{2}}+1}}\le \dfrac{3}{2}$ .

@Câu 30. [id1437] Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định như sau: ${{u}_{1}}=1$, ${{u}_{2}}=3$, ${{u}_{n+2}}=2{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}+1$, $n=1,2,...$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{u}_{n}}}{{{n}^{2}}}$.

@Câu 31. [id1438] (HSG11-QUỲNH LƯU-11-12) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=0 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{2-{{u}_{n}}} \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(n\,\in {{N}^{*}})$ Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty $ . Tìm giới hạn đó .

@Câu 32. [id1439] (HSG11_BẮC GIANG_2012-2013) Cho dãy số $({{u}_{n}})$ được xác định như sau $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left( {{x}_{n}}+\dfrac{2013}{{{x}_{n}}} \right) \\ \end{align} \right.,n\ge 1$ Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tìm $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}$

@Câu 33. [id1440] (HSG11 Quỳnh Lưu II – Nghệ An - 2011 - 2012) Cho dãy số $({{u}_{n}})$ xác định bởi:$\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=0 \\ {{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{2-{{u}_{n}}} \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} {} & (n\in {{N}^{*}}) \\ \end{matrix}$. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty $ . Tìm giới hạn đó.

@Câu 34. [id1441] (HSG cấp trường Yên Định 1 2017-2018) 1. Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định như sau: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2018 \\ & {{u}_{n+1}}=2018u_{n}^{2}+{{u}_{n}} \\ \end{align} \right.\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$. Tìm $\lim \left( \dfrac{{{u}_{1}}}{{{u}_{2}}}+\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{3}}}+\dfrac{{{u}_{3}}}{{{u}_{4}}}+...+\dfrac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n+1}}} \right).$

@Câu 35. [id1442] (HSG cấp trường Dương Xá – Hà Nội) Cho dãy $\left( {{x}_{n}} \right)$ : ${{x}_{1}}=1$ ; ${{x}_{n+1}}=\dfrac{\left( 2+\cos 2\alpha \right){{x}_{n}}+{{\cos }^{2}}\alpha }{\left( 2-2\cos 2\alpha \right){{x}_{n}}+2-\cos 2\alpha }$ . Đặt ${{y}_{n}}=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{2{{x}_{i}}+1}}$, $\forall n\ge 1$. Tìm $\alpha $ để dãy số $\left( {{y}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

@Câu 36. [id1443] (HSG cấp tỉnh Hà Tĩnh 2012-2013) Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ được xác định như sau $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left( {{x}_{n}}+\dfrac{2013}{{{x}_{n}}} \right),\,\,n\ge 1 \\ \end{align} \right..$ Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}$.

@Câu 37. [id1444] (HSG11-VĨNH PHÚC-14-15) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định bởi: ${{u}_{1}}=1,\,\,{{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n}}+1},\,\,n=1,2,3,...$ Tính: $\lim \dfrac{2014\left( {{u}_{1}}+1 \right)\left( {{u}_{2}}+1 \right)...\left( {{u}_{n}}+1 \right)}{2015n}$ .

@Câu 38. [id1445] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định như sau $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left( {{x}_{n}}+\dfrac{2013}{{{x}_{n}}} \right),\ n\ge 1. \\ \end{align} \right.$ Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}$.

@Câu 39. [id1446] (HSG11 Cao Bằng 2011 - 2012) Tính $A=\lim \left( \sqrt{4{{n}^{2}}+n+1}-2n \right)$ .

@Câu 40. [id1447] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho các số thực dương $a,b\,\,\left( a > b \right)$ và hai dãy số $\left\{ {{u}_{n}} \right\};\,\left\{ {{v}_{n}} \right\}$ xác định như sau: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=a\,;\,\,{{v}_{1}}=b \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+{{v}_{n}}}{2};\,{{v}_{n+1}}=\sqrt{{{u}_{n}}.{{v}_{n}}}\,,\,\,\forall \,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}. \\ \end{align} \right.$ Chứng minh rằng hai dãy $\left\{ {{u}_{n}} \right\};\,\left\{ {{v}_{n}} \right\}$ có giới hạn hữu hạn và $\lim {{u}_{n}}=\lim {{v}_{n}}$.

@Câu 41. [id1448] (HSG lớp 11 – sở GD Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định bởi $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2012 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{{{n}^{2}}+4n+3}{2{{n}^{2}}+4n}{{u}_{n}},\ n\ge 1 \\ \end{align} \right.$ . Hãy lập công thức tính ${{u}_{n}}$ theo $n$ và tính $\lim {{u}_{n}}$ .

@Câu 42. [id1449] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Cẩm Thủy 1 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định như sau $\left\{ \begin{align} & {{u}_{0}}={{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=\sqrt{{{u}_{n}}}+\sqrt{{{u}_{u-1}}},\left( n\in N,n\ge 2 \right) \\ \end{align} \right.$ . Tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,{{u}_{n}}$ .

@Câu 43. [id1450] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT 4 Thọ Xuân – Thanh Hóa – 2011 - 2012) Cho ${{S}_{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left( \dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}} \right)$. Tính limSn

@Câu 44. [id1451] (HSG trường THPT Nga Sơn-Thanh Hóa 2017-2018) Cho tứ Cho $f\left( n \right)={{\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)}^{2}}+1$ . Xét dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn ${{u}_{n}}=\dfrac{f(1).f(3).f(5)......f(2n-1)}{f(2).f(4).f(6)......f(2n)},\forall n=1,2,3,...$ Tính $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,n\sqrt{{{u}_{n}}}$ .

@Câu 45. [id1452] (HSG trường THPT DTNT Con Cuông- Nghệ An 2009-2010) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi công thức $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=4 \\ & {{u}_{n}}=\dfrac{1}{2}{{u}_{n-1}}+3 \\ \end{align} \right.$ , $\left( n\in \mathbb{N},\,n\ge 2 \right)$ . Hãy tìm công thức tổng quát ${{u}_{n}}$ và tính $\lim {{u}_{n}}$

@Câu 46. [id1453] (HSG CẤP TỈNH - THANH HÓA- 2017-2018) Cho dãy số $({{u}_{n}})$ xác định như sau $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2,\,\,{{u}_{2}}=5 \\ & {{u}_{n+2}}=5{{u}_{n+1}}-6{{u}_{n}},\forall n\ge 1 \\ \end{align} \right..$ Tính giới hạn $\lim \left( \dfrac{{{u}_{n}}}{{{3}^{n}}} \right).$

@Câu 47. [id1454] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho các số thực dương $a,\,b\,\,\left( a > b \right)$ và hai dãy số $\left\{ {{u}_{n}} \right\};\,\,\left\{ {{v}_{n}} \right\}$ xác định như sau: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=a\,;\,\,{{v}_{1}}=b \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+{{v}_{n}}}{2};\,{{v}_{n+1}}=\sqrt{{{u}_{n}}.{{v}_{n}}}\,,\,\,\forall \,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align} \right.$ . Chứng minh rằng hai dãy $\left\{ {{u}_{n}} \right\};\,\,\left\{ {{v}_{n}} \right\}$ có giới hạn hữu hạn và $\lim {{u}_{n}}=\lim {{v}_{n}}$.

@Câu 48. [id1455] (HSG cấp trường Cao Bá Quát 2009-2010) Cho tam giác $ABC$. a) Có $\tan \dfrac{A}{2},\,\tan \dfrac{B}{2},\,\tan \dfrac{C}{2}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng $\cos A,\,\cos B,\,\cos C$ cũng lập thành một cấp số cộng theo thứ tự ấy. b) Có $\sin A,\,\sin B,\,\sin C$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và $C-A=\dfrac{\pi }{3}$. Tìm số đo các góc của tam giác $ABC$.

@Câu 49. [id1456] (HSG11 Cao Bằng 2011 - 2012) Biết $2x+1$, $2x+6$, $2x+11$, …, $2x+96$ là một cấp số cộng.

@Câu 50. [id1457] (HSG 11 – Hai Bà Trưng-HN 2007-2008) Cho dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$ được xác định bởi: ${{a}_{1}}=1$ và ${{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+2n-1$ với mọi $n\ge 1$. Xét dãy số$\left( {{b}_{n}} \right)$ mà: ${{b}_{n}}={{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}$ với mọi $n\ge 1$. Chứng minh rằng dãy số $\left( {{b}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

@Câu 51. [id1458] Chứng minh rằng nếu $\tan \dfrac{A}{2},\,\tan \dfrac{B}{2},\,\tan \dfrac{C}{2}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì $\cos A,\,\cos B,\,\cos C$ cũng theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

@Câu 52. [id1459] Cho tam giác $ABC$ có $A,\,B,\,C$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội $\dfrac{1}{2}$. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{AB}=\dfrac{1}{BC}+\dfrac{1}{CA}$.

@Câu 53. [id1460] (HSG cấp tỉnh lớp 11 –THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2017 - 2018)Từ $2012$ số nguyên dương đầu tiên lấy ra $6$ số xếp thành dãy số có dạng ${{u}_{1}}$, ${{u}_{2}}$,${{u}_{3}}$, ${{u}_{4}}$,${{u}_{5}}$,${{u}_{6}}$. Hỏi có bao nhiêu dãy số có dạng trên biết ${{u}_{1}}$, ${{u}_{2}}$,${{u}_{3}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

@Câu 54. [id1461] (OLIMPIC 11 – TP HCM - 2017-2018) Cho các số thực a, b, c thỏa điều kiện $7a+4b+3c=0.$ Chứng minh rằng phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=2018\sin \left( \pi x \right)\left( * \right)$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]$.

@Câu 55. [id1462] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Chứng minh rằng phương trình $8{{x}^{3}}-6x-1=0$ có 3 nghiệm phân biệt. Hãy giải để tìm 3 nghiệm đó.

@Câu 56. [id1463] (HSG11 – THPT Lê Quý Đôn – Vòng 1 – 2013 – 2014) Chứng minh rằng phương trình ${{x}^{5}}-x-2=0$có nghiệm ${{x}_{0}}$ thỏa mãn ${{x}_{0}} > \sqrt[9]{8}$.

@Câu 57. [id1464] Cho phương trình: $m\left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-4x \right)+{{x}^{3}}-3x+1=0$ ( $x$ là ẩn, $m$ là tham số). Chứng minh với mọi giá trị thực của $m$ phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt.

@Câu 58. [id1465] (HSG 11 – Vĩnh Phúc 2012-2013) Cho phương trình: $m\left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-4x \right)+{{x}^{3}}-3x+1=0$ ($x$ là ẩn, $m$ là tham số). Chứng minh với mọi giá trị thực của $m$ phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thực phân biết.

@Câu 59. [id1466] (HSG cấp tỉnh lớp 11 – Quảng Bình – 2012 - 2013) Cho phương trình: ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$. Với $d=-2013$ , chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

@Câu 60. [id1467] (HSG 11 – Vĩnh Phúc 2014-2015) Chứng minh rằng phương trình ẩn $x$ sau luôn có nghiệm dương: ${{x}^{5}}-2014x-2015=0$ ..

@Câu 61. [id1468] (HSG11-VĨNH PHÚC-14-15)Chứng minh rằng phương trình ẩn $x$ sau luôn có nghiệm dương: ${{x}^{5}}-2014x-2015=0$ .

@Câu 62. [id1469] (HSG_NAM ĐỊNH_2011-2012) Chứng minh phương trình $-2{{x}^{4}}+m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}+px+2011=0$ có ít nhất 2 nghiệm với $\forall m,n,p\in \mathbb{R}$

@Câu 63. [id1470] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho các số thực $a$ , $b$ , $c$ thỏa mãn $2a+4b+11c=0$. Chứng minh rằng phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$.

@Câu 64. [id1471] (HSG OLIMPIC 11– Quảng Nam – 2018) Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{6-x-{{x}^{2}}}{\left| x-2 \right|}\,khi\,x\ne 2 \\ & 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x=2 \\ \end{align} \right.$. Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right)$ tại $x=2$.

@Câu 65. [id1472] (HSG 11 trường THPT Tiến Thịnh 2009-2010) Cho hàm số $f(x)=\left\{ \begin{matrix} 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,x=0 \\ x.\sin \dfrac{1}{x}\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,\,x\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$. Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.

@Câu 66. [id1473] (HSG11 Bắc Giang cấp trường 2012 - 2013) Tìm các điểm tại đó hàm số: $y=\left\{ \begin{align} & x\left| \cos \dfrac{\pi }{x} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,voi\ \,x\ne 0\,\,\,\,\,\, \\ & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,voi\ \,x=0 \\ \end{align} \right.$ không có đạo hàm.

@Câu 67. [id1474] (HSG 11 trường THPT Quỳnh Lưu II – Nghệ An 2011-2012) Tìm giới hạn của dãy số: $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{3+x}-\sqrt[3]{{{x}^{2}}+7}}{{{x}^{2}}-1}$.

@Câu 68. [id1475] (HSG11 Quỳnh Lưu II – Nghệ An - 2011 - 2012) Tìm giới hạn của hàm số :$\underset{x\to 1}{\mathop{Lim}}\,\dfrac{\sqrt{3+x}-\sqrt[3]{{{x}^{2}}+7}}{{{x}^{2}}-1}$

@Câu 69. [id1476] (HSG11 Bắc Giang cấp trường 2012 - 2013) Tính: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{({{x}^{2}}+2014)\sqrt[2014]{1-2014x}-2014}{x}$ .

@Câu 70. [id1477] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Tìm giới hạn sau: $\underset{x\to 1}{\mathop{lim}}\,\dfrac{x\sqrt{2x-1}+\sqrt[3]{3x-2}-2}{{{x}^{2}}-1}$

@Câu 71. [id1478] Tính $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( -1 \right)}^{n}}\sin \left( \pi \sqrt{{{n}^{2}}+n} \right)$.

@Câu 72. [id1479] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Tính giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{4+x}.\sqrt[3]{1+2x}-2}{x}$.

@Câu 73. [id1480] (HSG11 Cao Bằng 2011 - 2012) Tính $B=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{30}}-30}{x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+{{x}^{4}}-4}$ . Ta có $\dfrac{x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{30}}-30}{x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+{{x}^{4}}-4}$ $=\dfrac{\left( x-1 \right)+\left( {{x}^{2}}-1 \right)+...+\left( {{x}^{30}}-1 \right)}{\left( x-1 \right)+\left( {{x}^{2}}-1 \right)+\left( {{x}^{3}}-1 \right)+\left( {{x}^{4}}-1 \right)}$ $\dfrac{\left( x-1 \right)\left[ 1+\left( x+1 \right)+...+\left( {{x}^{29}}+{{x}^{28}}+...+x+1 \right) \right]}{\left( x-1 \right)\left[ 1+\left( x+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1 \right) \right]}$ $=\dfrac{1+\left( x+1 \right)+...+\left( {{x}^{29}}+{{x}^{28}}+...+x+1 \right)}{1+\left( x+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1 \right)}$ Khi đó $B=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{30}}-30}{x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+{{x}^{4}}-4}$ $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1+\left( x+1 \right)+...+\left( {{x}^{29}}+{{x}^{28}}+...+x+1 \right)}{1+\left( x+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1 \right)}$ $=\dfrac{1+2+...+30}{1+2+3+4}=\dfrac{93}{2}$ . Vậy $B=\dfrac{93}{2}$.

@Câu 74. [id1481] (HSG_NAM ĐỊNH_2011-2012) Tính $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+3}-2011x+2009}{x-1}$.

@Câu 75. [id1482] (HSG cấp tỉnh Nam Định 2014-2015 – Dự bị) Tính: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{({{x}^{2}}+2014)\sqrt[2014]{1-2014x}-2014}{x}$ .

@Câu 76. [id1483] (HSG 11 trường THPT Tiến Thịnh 2009-2010) Tính giới hạn $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{n}}-n}{x-1}$.

@Câu 77. [id1484] (HSG cấp tỉnh lớp 11 – Quảng Bình – 2012 - 2013) Tính $\lim \left( \sqrt{{{n}^{4}}+{{n}^{2}}+1}-\sqrt[3]{{{n}^{6}}+1} \right)=\lim \left( \sqrt{{{n}^{4}}+{{n}^{2}}+1}-{{n}^{2}}-(\sqrt[3]{{{n}^{6}}+1}-{{n}^{2}}) \right)$.

@Câu 78. [id1485] (HSG11-QUỲNH LƯU-11-12) Tìm giới hạn của hàm số : $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{3+x}-\sqrt[3]{{{x}^{2}}+7}}{{{x}^{2}}-1}$

@Câu 79. [id1486] (2 điểm)Tính .

@Câu 80. [id1487] Tính giới hạn $A=\underset{x\to 0}{\mathop{\text{lim}}}\,\dfrac{\sqrt[n]{1+ax}.\sqrt[m]{1+bx}-1}{x},\,\,ab\ne 0,\,m,\,n\in {{\mathbb{Z}}^{+}}.$

@Câu 81. [id1488] (HSG11 – THPT Hậu Lộc 4 – Thanh Hóa – 2014 – 2015) Tìm giới hạn sau: $I=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x+1 \right)\sqrt{x+3}-\left( 2x-1 \right)\sqrt{9x+7}}{x-1}$.

@Câu 82. [id1489] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT 4 Thọ Xuân – Thanh Hóa – 2011 - 2012) Tính giới hạn sau: L = $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{{{x}^{2}}}$

@Câu 83. [id1490] (HSG trường THPT DTNT Con Cuông- Nghệ An 2009-2010) Tìm giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[2010]{3x+1}-\sqrt[2009]{2x+1}}{x}$ .

@Câu 84. [id1491] (HSG11_BẮC GIANG_2012-2013) Tình giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{4+x}.\sqrt[3]{1+2x}}{x}$

@Câu 85. [id1492] (HSG cấp tỉnh Hà Tĩnh 2012-2013) Tính giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{4+x}\sqrt[3]{1+2x}-2}{x}$.

@Câu 86. [id1493] (OLIMPIC 11 – TP HCM - 2017-2018) Tính giới hạn $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+3x+2-2\sqrt{6{{x}^{2}}+3x}}{{{x}^{2}}-2x+2-c\text{os}\left( x-1 \right)}.$

@Câu 87. [id1494] (HSG 11 – VĨNH LONG 2013-2014) Tính giới hạn $A=lim\sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}-1}-n$ .

@Câu 88. [id1495] (HSG 11 – Vĩnh Phúc 2012-2013) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định như sau: ${{u}_{1}}=1$, ${{u}_{2}}=3$, ${{u}_{n+2}}=2{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}+1$, $n=1,2,\ldots $ Tính $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{u}_{n}}}{{{n}^{2}}}$.

@Câu 89. [id1496] (HSG 11 – Vĩnh Phúc 2014-2015) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định bởi: ${{u}_{1}}=1,\,\,{{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n}}+1},\,\,n=1,2,3,...$ Tính: $\lim \dfrac{2014\left( {{u}_{1}}+1 \right)\left( {{u}_{2}}+1 \right)...\left( {{u}_{n}}+1 \right)}{2015n}$ .

@Câu 90. [id1497] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Tính giới hạn sau:$L=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(2x+1)(3x+1)...(2014x+1)-1}{x}$

@Câu 91. [id1498] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Tính $\underset{x\to 1}{\mathop{\text{lim}}}\,\dfrac{{{x}^{2014}}-\,\,2014x\,\text{+}\,2013}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$.