Dãy số trong các đề thi HSG

@Câu 1. [id1348] (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\sqrt{2851} \\ & {{\left( {{u}_{n+1}} \right)}^{2}}={{\left( {{u}_{n}} \right)}^{2}}+n\,\,\,,\,\,\,n\ge 1 \\ \end{align} \right.$ . Số hạng thứ 2020 của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là:

A. $1427$.
B. $1429$.
C. $2019$.
D. $1428$.

@Câu 2. [id1349] (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết $\left\{ \begin{align} & {{u}_{4}}-{{u}_{2}}=54 \\ & {{u}_{5}}-{{u}_{3}}=108 \\ \end{align} \right.$. Tìm số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công bội $q$ của cấp số nhân trên.

A. ${{u}_{1}}=-9$;$q=-2$.
B. ${{u}_{1}}=9$; $q=-2$.
C. ${{u}_{1}}=9$; $q=2$.
D. ${{u}_{1}}=-9$; $q=2$.

@Câu 3. [id1350] (Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định bởi: ${{u}_{1}}=2;{{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}}+3n-1$. Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là biểu thức có dạng $a{{.2}^{n}}+bn+c,$ với $a,b,c$ là các số nguyên, $n\ge 2;n\in N$. Khi đó tổng $a+b+c$ có giá trị bằng?

A. $3$ .
B. $4$ .
C. $-4$ .
D. $-3$ .

@Câu 4. [id1351] (HSG11 THuận Thành 2018-2019) Cho các số $x+5y;\,5x+2y;\,8x+y$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số ${{(y-1)}^{2}};\,xy-1;\,{{\left( x+2 \right)}^{2}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm $x,y$.

@Câu 5. [id1352] (HSG12 THPT Thuận Thành năm 2018-2019) Cho các số $x+5y;\,5x+2y;\,8x+y$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số ${{(y-1)}^{2}};\,xy-1;\,{{\left( x+2 \right)}^{2}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm $x,y$.

@Câu 6. [id1353] (HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Xét sự hội tụ của dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ biết ${{x}_{0}}\,=\,2$, ${{x}_{n+1}}=\dfrac{2}{{{x}_{n}}}+\dfrac{\sqrt{3}}{{{x}_{n}}^{2}},\,\forall \,n\,\in \,\mathbb{N}$.

@Câu 7. [id1354] (HSG12 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+5,$ $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

@Câu 8. [id1355] (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với $\left\{ \begin{align} & {{u}_{2}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ & {{u}_{3}}+{{u}_{4}}=17 \\ \end{align} \right.$ . Số hạng đầu và công sai lần lượt là

A. ${{u}_{1}}=3$; $d=1$.
B. ${{u}_{1}}=3$; $d=2$.
C. ${{u}_{1}}=2$; $d=-3$.
D. ${{u}_{1}}=1$; $d=3$.

@Câu 9. [id1356] (HSG11 Thị Xã Quảng Trị năm 2018-2019)Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định bởi: ${{u}_{1}}=\sin 1\,;\,\,\,{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+\dfrac{\sin n}{{{n}^{2}}}$ , với mọi $n\in \mathbb{N},\,\,n\ge 2$ . Chứng minh rằng dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định như trên là một dãy số bị chặn.

@Câu 10. [id1357] (HSG12 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ thỏa mãn ${{v}_{1}}=\dfrac{1}{2018},$ ${{v}_{n+1}}=\dfrac{2{{v}_{n}}}{1+2018v_{n}^{2}},$ $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$ Chứng minh rằng ${{v}_{n+1}}\ge {{v}_{n}},\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

@Câu 11. [id1358] (HSG12 tỉnh GIA LAI 2018-2019) Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao $h=18m$. Sau mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên cao bằng $\dfrac{3}{4}$ độ cao của lần rơi ngay trước đó. Giả sử quả bóng khi rơi và nảy đều theo phương thẳng đứng. Tính tổng độ dài quãng đường quả bóng đã di chuyển từ lúc được thả đến lúc không nảy nữa.

@Câu 12. [id1359] (HSG12 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi ${{u}_{1}}=1,{{u}_{n+1}}=\dfrac{\sqrt{1+u_{n}^{2}}-1}{{{u}_{n}}},\forall n\ge 1$. Xét tính đơn điệu và bị chặn của $\left( {{u}_{n}} \right)$.

@Câu 13. [id1360] (HSG11 Cụm Hà Đông Hoài Đức Hà Nội năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi công thức: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1;\,{{u}_{2}}=4 \\ & {{u}_{n+2}}=5{{u}_{n+1}}-6{{u}_{n}}-2\,\,\forall n\ge 1,\,\,n\in \mathbb{N} \\ \end{align} \right.$ . Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$.

@Câu 14. [id1361] (HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{2{{u}_{n}}}{{{u}_{n}}+4},\,n\ge 1 \\ \end{align} \right.$. Tìm công thức số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ của dãy số đã cho.

@Câu 15. [id1362] (HSG12 Cụm Thanh Xuân năm 2018-2019) tam giác $ABC$ có độ dài 3 cạnh lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng tam giác đó có 2 góc trong mà số đo không vượt quá $60{}^\circ $.

@Câu 16. [id1363] (HSG12 tỉnh TỈNH VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ có số hạng tổng quát ${{u}_{n}}=\ln \left[ 1-\dfrac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}} \right]$, $\left( n\in \mathbb{N} \right)$. Tìm giá trị của biểu thức $H=2019.{{e}^{{{u}_{1}}}}.{{e}^{{{u}_{2}}}}...{{e}^{{{u}_{2018}}}}$

@Câu 17. [id1364] (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$thỏa mãn: ${{\log }_{2}}{{u}_{1}}.{{\log }_{2}}{{u}_{5}}-2{{\log }_{2}}{{u}_{1}}+2{{\log }_{2}}{{u}_{5}}=20$ và ${{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}}$;${{u}_{1}} > 1$với mọi $n\ge 2$. Tính tổng tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn ${{2018}^{29}} < {{u}_{n}} < {{2018}^{30}}$.

A. $3542$ .
B. $3553$.
C. $3870$.
D. $4199$.

@Câu 18. [id1365] (HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho dãy số thực $\left( {{x}_{n}} \right)$ thỏa mãn điều kiện $\left\{ \begin{align} & 0 < {{x}_{n}} < 1 \\ & {{x}_{n+1}}\left( 1-{{x}_{n}} \right)\ge \dfrac{1}{4} \\ \end{align} \right.,\forall n=1,2,3,...$ a) Chứng minh rằng ${{x}_{n}} > \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n},\forall n=1,2,3,...$ b) Tìm giới hạn của dãy $\left( {{x}_{n}} \right)$ .

@Câu 19. [id1366] (HSG12 tỉnh Hưng Yên 2018-2019)Cho dãy số được xác định như sau: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=\sqrt{1+2{{u}_{n}}{{u}_{n+1}}},\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align} \right.$ 1. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho. 2. Chứng minh rằng ${{u}_{2019}}$ là số vô tỷ.

@Câu 20. [id1367] (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho dãy số $\left( u_{n}^{{}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1\quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ {{u}_{n+1}}=\dfrac{n+1}{n+2}{{u}_{n}}+\dfrac{3}{n+2} \\ \end{matrix} \right.\forall n\in \mathbb{N}*$. Tính ${{u}_{2018}}$.

A. $u_{2018}^{{}}=\dfrac{2019}{2018}$.
B. $u_{2018}^{{}}=\dfrac{6053}{2019}$.
C. $u_{2018}^{{}}=\dfrac{2018}{2019}$.
D. $u_{2018}^{{}}=\dfrac{3029}{6053}$.

@Câu 21. [id1368] (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho dãy số $\left( \,{{u}_{n}} \right)\,$ thỏa mãn: ${{u}_{1}}=1,\,{{u}_{2}}=11,\,{{u}_{3}}=111,...,{{u}_{n}}=11...1$ ($n$ chữ số 1, $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$). Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}$. Giá trị của ${{S}_{2019}}$ bằng

A. $\dfrac{1}{9}\left( \dfrac{{{10}^{2012}}-10}{9}+2019 \right)$.
B. $\dfrac{10}{9}\,\left( {{10}^{2019}}-1 \right)+2019$.
C. $\dfrac{1}{9}\,\left( {{10}^{2019}}-1 \right)$.
D. $\dfrac{1}{9}\left( \dfrac{{{10}^{2020}}-10}{9}-2019 \right)$.

@Câu 22. [id1369] (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Giá trị của $\lim \dfrac{{{3}^{n}}-{{\left( -1 \right)}^{n+1}}{{.2}^{2n}}}{5+{{\left( -4 \right)}^{n+1}}}$ là

A. $-\dfrac{1}{4}$.
B. $-\infty $.
C. $4$.
D. $0$.

@Câu 23. [id1370] (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Với $m$ là hằng số dương. Tính giới hạn $\underset{x\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,(\sqrt{{{x}^{2}}-4mx+2019}+x)$ ta được kết quả bằng

A. $-2m$.
B. $\dfrac{1}{2m}$.
C. $2m$.
D. $-\dfrac{1}{2m}$.

@Câu 24. [id1371] (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+ax+5}+x \right)=5$. Khi đó giá trị $a$ là

A. $10$.
B. $-\,10$.
C. $-\,6$.
D. $6$.

@Câu 25. [id1372] (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Tìm giới hạn sau $A=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{1-\sqrt{2-{{x}^{2}}}}$.

A. $1$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $2$.
D. $\dfrac{2}{3}$.

@Câu 26. [id1373] (HSG11 Chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)_{n=1}^{+\infty }$ bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện ${{u}_{n+2}}\ge \dfrac{2}{5}.{{u}_{n+1}}+\dfrac{3}{5}.{{u}_{n}}$ , $\forall n=1,2,3,...$ Chứng minh rằng dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn.

@Câu 27. [id1374] (HSG12 HCM ngày 2 năm 2018-2019) Xét dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$ xác định bởi ${{a}_{1}}=3$ , ${{a}_{2}}=7$ và ${{a}_{n+2}}=3{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}$ với $n=1,2,\,3,...$ a) Chứng minh rằng $\dfrac{a_{1}^{2}}{7}+\dfrac{a_{2}^{2}}{{{7}^{2}}}+...+\dfrac{a_{n}^{2}}{{{7}^{n}}} < \dfrac{142}{3}$ , $\forall n=1,\,2,\,3,...$ b) Với mỗi $n\ge 1$ , đặt ${{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}{{a}_{3}}}+...+\dfrac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}$ . Chứng minh rằng dãy số $\left( {{b}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty $ và tìm giới hạn đó.

@Câu 28. [id1375] (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Tính giới hạn : $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+4}+c\text{os}x-3}{{{x}^{2}}}$

@Câu 29. [id1376] (HSG11 Hà Tĩnh 2018-2019) Tùy theo giá trị của tham số $m$, tính giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+1}-\sqrt{4{{x}^{2}}+2x+3}+mx \right)$ .

@Câu 30. [id1377] (HSG12 tỉnh KonTum năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định bởi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}=1,\,\,{{u}_{2}}=3 \\ {{u}_{n+2}}+{{u}_{n}}=2\left( {{u}_{n+1}}+1 \right),n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{array} \right.$ . Tính $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{u}_{n}}}{{{n}^{2}}}$ .

@Câu 31. [id1378] (HSG12 tỉnh Thái Binh năm 2018-2019)Tính $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{\log }_{2018}}\left( 2-\cos 2x \right)}{{{x}^{2}}}$.

@Câu 32. [id1379] (HSG12 tỉnh Thái Nguyên năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)_{n=1}^{\infty }$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\ldots +{{u}_{n-1}}+{{u}_{n}}={{n}^{2}}{{u}_{n}},\ n\ge 1 \\ \end{align} \right.$ . Tìm giới hạn $\lim \left( {{n}^{2}}{{u}_{n}} \right)$.

@Câu 33. [id1380] (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-10}{x-1}=5$. Giới hạn $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-10}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{4f\left( x \right)+9}+3 \right)}$ bằng

A. $10$.
B. $\dfrac{5}{3}$.
C. $1$.
D. $2$.

@Câu 34. [id1381] (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho biết $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{4{{x}^{2}}-7x+12}}{a\left| x \right|-17}=\dfrac{2}{3}$. Giá trị của $a$ thuộc khoảng nào sau đây:

A. $\left( -4\,;\,-1 \right)$.
B. $\left( -7\,;\,-4 \right)$.
C. $\left( 1\,;\,4 \right)$.
D. $\left( 3\,;\,5 \right)$.

@Câu 35. [id1382] (HSG11 Bắc Ninh 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi ${{u}_{1}}=2019;{{u}_{2}}=2020;{{u}_{n+1}}=\dfrac{2{{u}_{n}}+{{u}_{n-1}}}{3},n\ge 2,n\in \mathbb{N}$. Tính $\lim {{u}_{n}}$.

@Câu 36. [id1383] (HSG11 Cụm Hà Đông Hoài Đức Hà Nội năm 2018-2019) Tính $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{C_{2018}^{0}+C_{2018}^{2}{{x}^{2}}+C_{2018}^{4}{{x}^{4}}+...+C_{2018}^{2018}{{x}^{2018}}-{{2}^{2017}}}{x-1}$ .

@Câu 37. [id1384] (HSG11 THuận Thành 2018-2019) Tìm $\lim \dfrac{\sqrt{{{n}^{2}}+n}-n}{\sqrt{4{{n}^{2}}+3n}-2n}$ ?

@Câu 38. [id1385] (HSG12 Cụm Thanh Xuân năm 2018-2019) Tính giới hạn sau$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{5-{{x}^{2}}}}{x-1}$.

@Câu 39. [id1386] (HSG12 Hà Nội năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$ xác định bởi ${{a}_{1}}=\dfrac{1}{2},{{a}_{n+1}}=\dfrac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-{{a}_{n}}+1};n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ a) Chứng minh dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$ là dãy số giảm. b) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt ${{b}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}.$ Tính $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}$ .

@Câu 40. [id1387] (HSG12 tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019) Cho dãy $\left( {{x}_{n}} \right)$ xác định bởi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=1,\,{{x}_{n}}.{{x}_{n+2}}=x_{n+1}^{2}+3.{{\left( -1 \right)}^{n-1}}$ . 1) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy $\left( {{x}_{n}} \right)$ đều là số nguyên 2) Tính $\lim \dfrac{{{x}_{n+1}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}}$ .

@Câu 41. [id1388] (HSG12 THPT Thuận Thành năm 2018-2019) Tìm $\lim \dfrac{\sqrt{{{n}^{2}}+n}-n}{\sqrt{4{{n}^{2}}+3n}-2n}$ .

@Câu 42. [id1389] (HSG12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định như sau $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\dfrac{1}{2};{{u}_{2}}=3 \\ & {{u}_{n+2}}=\dfrac{{{u}_{n+1}}{{u}_{n}}+1}{{{u}_{n+1}}+{{u}_{n}}},\forall n\ge 1 \\ \end{align} \right.$. Chứng minh rằng dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó

@Câu 43. [id1390] (HSG 12 Yên Lạc 2 Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2019 \\ & {{u}_{n+1}}=\sqrt[n+1]{u_{n}^{n}+\dfrac{1}{{{2019}^{n}}}} \\ \end{align} \right.$ . Tìm công thức số hạng tổng quát và tính $\lim {{u}_{n}}$ .

@Câu 44. [id1391] (HSG11 Hà Tĩnh 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{2{{u}_{n}}}{\sqrt{5{{u}_{n}}+1}+1},n\ge 1,n\in \mathbb{N} \\ \end{align} \right.$. Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}+....+{{u}_{n}}^{2}$. Chứng minh dãy $\left( {{S}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

@Câu 45. [id1392] (HSG11 Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số (un) được xác định bở1 $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2018 \\ & \left( 3{{n}^{2}}+9n \right){{u}_{n+1}}=\left( {{n}^{2}}+5n+4 \right){{u}_{n}},\ n\ge 1 \\ \end{align} \right.$. Tính g1ớ1 hạn$\lim \left( \dfrac{{{3}^{n}}}{{{n}^{2}}}.{{u}_{n}} \right)$.

@Câu 46. [id1393] (HSG11 tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số xác định bởi: $\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=2 \\ {{u}_{n+1}}=4{{u}_{n}}+{{3.4}^{n}},n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{matrix} \right.$.Tìm số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$và tính giới hạn $\lim \dfrac{2{{n}^{2}}+3n+1}{{{u}_{n}}}$

@Câu 47. [id1394] (HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2019 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{u_{n}^{3}+{{2018}^{2}}}{u_{n}^{2}-{{u}_{n}}+4036},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align} \right.$. Đặt ${{v}_{n}}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{u_{k}^{2}+2018},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}$. Tính $\underset{{}}{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}$.

@Câu 48. [id1395] (HSG11 Hậu Lộc tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định bởi $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2018 \\ & \left( 3{{n}^{2}}+9n \right){{u}_{n+1}}=\left( {{n}^{2}}+5n+4 \right){{u}_{n}},\text{ }n\ge 1 \\ \end{align} \right.$ .Tính giới hạn $\lim \left( \dfrac{{{3}^{n}}}{{{n}^{2}}}.{{u}_{n}} \right)$.

@Câu 49. [id1396] (HSG11 Nghệ An 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$, biết ${{u}_{1}}=12$, $\dfrac{2{{u}_{n+1}}}{{{n}^{2}}+5n+6}=\dfrac{{{u}_{n}}+{{n}^{2}}-n-2}{{{n}^{2}}+n}$ với $n\ge 1$. Tìm $\lim \dfrac{{{u}_{n}}}{2{{n}^{2}}+1}$.

@Câu 50. [id1397] (HSG11 THPT Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số (un) được xác định bởi $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2018 \\ & \left( 3{{n}^{2}}+9n \right){{u}_{n+1}}=\left( {{n}^{2}}+5n+4 \right){{u}_{n}},\ n\ge 1 \\ \end{align} \right.$. Tính giới hạn $\lim \left( \dfrac{{{3}^{n}}}{{{n}^{2}}}.{{u}_{n}} \right)$.

@Câu 51. [id1398] (HSG11 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019)Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$được xác định như sau $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2019 \\ & {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}-n+1\quad \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align} \right.$. Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{u}_{n}}}{{{3}^{n}}}$.

@Câu 52. [id1399] (HSG11 Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2 \\ & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{2018}\left( u_{n}^{2}-{{u}_{n}} \right),\forall n\ge 1 \\ \end{align} \right.$. Tính g1ớ1 hạn sau $\lim \left( \dfrac{{{u}_{1}}}{{{u}_{2}}-1}+\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{3}}-1}+...+\dfrac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n+1}}-1} \right)$.

@Câu 53. [id1400] (HSG11 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Tính giới hạn$L=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt[3]{3x+1}}{{{x}^{2}}}$

@Câu 54. [id1401] (HSG12 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Cho dãy số $\left\{ {{u}_{n}} \right\}$ xác định bởi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}=3 \\ {{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{u_{n}^{2}+5{{u}_{n}}}+{{u}_{n}} \right),n\in \mathbb{N},n\ge 1 \\ \end{array} \right.$ Ta thành lập dãy số $\left\{ {{v}_{n}} \right\}$ với ${{v}_{n}}=\dfrac{1}{u_{1}^{2}}+\dfrac{1}{u_{2}^{2}}+\ldots +\dfrac{1}{u_{n}^{2}}$ . Chứng minh rằng dãy số $\left\{ {{v}_{n}} \right\}$có giới hạn và tính giới hạn đó.

@Câu 55. [id1402] (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là $+\infty $?

A. $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-3x+4}{x-2}$
B. $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-3x+4}{x-2}$
C. $\underset{x\to 2{{\,}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-3x+4}{{{x}^{2}}-4x+4}$.
D. $\underset{x\to \,\,-\,\,\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-3{{x}^{2}}+4}{x-2}$ .

@Câu 56. [id1403] (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Tìm giá trị của $m$ để $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{mx-m+1}-1}{x-1}=2$.

A. $m=-4$.
B. $m=2$.
C. $m=0$.
D. $m=4$.

@Câu 57. [id1404] (HSG11 Hậu Lộc tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2 \\ & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{2018}\left( u_{n}^{2}-{{u}_{n}} \right),\forall n\ge 1 \\ \end{align} \right.$.Tính $\lim \left( \dfrac{{{u}_{1}}}{{{u}_{2}}-1}+\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{3}}-1}+...+\dfrac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n+1}}-1} \right)$.

@Câu 58. [id1405] (HSG11 THPT Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2 \\ & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{2018}\left( u_{n}^{2}-{{u}_{n}} \right),\forall n\ge 1 \\ \end{align} \right.$. Tính $\lim \left( \dfrac{{{u}_{1}}}{{{u}_{2}}-1}+\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{3}}-1}+...+\dfrac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n+1}}-1} \right)$.