Bài toán 36.[IMC 2019] Cho dãy số $a_0$, $a_1$, $\ldots$ được xác định bởi $$a_0=1, a_1=2, (n+3)a_{n+2}=(6n+9)a_{n+1}-na_n,\ \forall n\ge 0.$$ Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đều nguyên.

Bài toán 36.[IMC 2019] Cho dãy số $a_0$, $a_1$, $\ldots$ được xác định bởi $$a_0=1, a_1=2, (n+3)a_{n+2}=(6n+9)a_{n+1}-na_n,\ \forall n\ge 0.$$ Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đều nguyên.

Lời giải

Để chứng minh tất cả các số hạng của một dãy số là số nguyên, cách tiếp cận căn bản nhất là tìm một hệ thức truy hồi mà theo đó $a_{n+1}$ tính theo các số hạng trước đó với một biểu thức dạng đa thức có hệ số nguyên. Sự xuất hiện của biểu thức chứa $n$ trong hệ số gợi ý cho chúng ta đến đạo hàm của hàm sinh. Ta có ý tưởng là dùng hàm sinh, rồi từ hệ thức truy hồi tìm ra phương trình hàm của hàm sinh. Giải phương trình hàm để tìm hàm sinh. Nếu thuận lợi thì khai triển hàm sinh để tìm công thức tổng quát cho $a_n$ (trong trường hợp này sẽ còn một bước là chứng minh biểu thức tường minh này luôn nguyên). Một hướng đi khá đi khả dĩ khác là từ hàm sinh lại đi tìm một công thức truy hồi khác như phân tích ở trên.
Xét hàm sinh của dãy $\left(a_n\right)$ $$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.$$ Ta có { $$\begin{align*} f(x)&=1+2x+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_nx^n=1+2x+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}x^{n+2}\\ &=1+2x+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{6n+9}{n+3}a_{n+1}x^{n+2}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n}{n+3}a_nx^{n+2}. \end{align*}$$ } Đặt $$f_1(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{6n+9}{n+3}a_{n+1}x^{n+2},\ f_2(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n}{n+3}a_nx^{n+2}.$$ Khi đó { $$\begin{align*} \left(xf_1(x)\right)'&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(6n+9)x^{n+2}=6x^2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^n+3x\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}x^{n+1}\\ &=6x^2f'(x)+3x\left(f(x)-1\right). \end{align*}$$ } và $$\left(xf_2(x)\right)'=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^{n+2}=x^3\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1}=x^3f'(x).$$ Từ các hệ thức này, ta đi đến phương trình vi phân sau đây của $f$ $$\left(xf(x)\right)'=1+4x+\left(xf_1(x)\right)'-\left(xf_2(x)\right)'=1+4x+6x^2f'(x)+3x\left(f(x)-1\right)-x^3f'(x),$$ hay là $$\left(x^3-6x^2+x\right)f'(x)+(1-3x)f(x)-1-x=0.$$ Viết dưới dạng chính tắc như sau $$f'(x)+\dfrac{1-3x}{x^3-6x^2+x}f(x)=\dfrac{1+x}{x^3-6x^2+x}.$$ Phương trình trên thuộc dạng vi phân tuyến tính bậc nhất $$f'(x)+a(x)f(x)=b(x).$$ Phương trình này giải bằng phương pháp thừa số tích phân như sau.
Ta nhân hai vế của phương trình với $c(x)$ là một hàm số ta sẽ chọn thích hợp, để trở thành $$c(x)f'(x)+c(x)a(x)f(x)=c(x)b(x).$$ Ta muốn rằng vế trái sẽ có dạng $\left(c(x)f(x)\right)'$.
Muốn vậy ta phải có $c'(x)=c(x)a(x)$ hay $\left(\ln \left(c(x)\right)\right)'=a(x)$. Như vậy $c(x)=\mathrm{e}^{\displaystyle\int a(x)\mathrm{d}x}$, chính là thừa số tích phân cần tìm. Từ đây ta tiếp tục tìm được $$f(x)=\dfrac{\displaystyle\int c(x)b(x)\mathrm{d}x}{c(x)}.$$ Như vậy, để tìm thừa số tích phân, ta cần tính tích phân hàm hưu tỷ $$\dfrac{1-3x}{x^3-6x^2+x}.$$ Để tính tích phân này, ta tìm khai triển của biểu thức dưới dạng tổng của các phân số đơn giản, cụ thể $$\dfrac{1-3x}{x^3-6x^2+x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-x_1}+\dfrac{C}{x-x_2}$$ ở đây $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-6x+1=0$.
Đồng nhất hệ số, ta được hệ điều kiện sau $$\left\{ \begin{array}{l}&A=1\\&A+B+C=0\\&-6A-B-2C=-3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}&A=1\\&B=-\dfrac{1}{2}\\&C=-\dfrac{1}{2}.\end{array} \right.$$ Từ đây ta tính được $$\displaystyle\int \dfrac{1-3x}{x^3-6x^2+x}\mathrm{d}x=\displaystyle\int \left[\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2(x-x_1)}-\dfrac{1}{2(x-x_2)}\right]\mathrm{d}x=\ln \dfrac{x}{\sqrt{x^2-6x+1}}.$$ và $$c(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-6x+1}}.$$ Tiếp theo là tích phân $c(x)b(x)$, trong tình huống của chúng ta là tích phân $$\displaystyle\int \dfrac{1+x}{\left(x^2-6x+1\right)^{\tfrac{3}{2}}}\mathrm{d}x.$$ Để tính tích phân dạng này, ta dự đoán nó sẽ có dạng $$g(x)=\dfrac{ax+b}{\left(x^2-6x+1\right)^{\frac{1}{2}}}.$$ Lấy đạo hàm của $g(x)$, ta được $$g'(x)=\dfrac{a\left(x^2-6x+1\right)^{\tfrac{1}{2}}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2x-6}{\left(x^2-6x+1\right)^{\tfrac{1}{2}}}(ax+b)}{x^2-6x+1}=\dfrac{a\left(x^2-6x+1\right)-(x-3)(ax+b)}{\left(x^2-6x+1\right)^{\tfrac{1}{2}}}.$$ Để có kết quả là $$\dfrac{1+x}{\left(x^2-6x+1\right)^{\frac{3}{2}}}.$$ Ta cần có $$\left\{ \begin{array}{l}&a+3b=1\\&-6a+3a-b=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}&a=-\dfrac{1}{2}\\&=-\dfrac{1}{2}.\end{array} \right.$$ Vì vậy $$\displaystyle\int \dfrac{1+x}{\left(x^2-6x+1\right)^{\frac{1}{2}}}\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-6x+1}}+C.$$ Từ đó $$f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{-x+1+C\sqrt{x^2-6x+1}}{x}.$$ Cho $x$ dần về $0$ với chú ý $f(0)=1$, ta tìm được $C=-\dfrac{1}{2}.$ Từ đây $$f(x)=\dfrac{-x-1-\sqrt{x^2-6x+1}}{2x}.$$ Tìm khai triển Taylor của hàm $\sqrt{x^2-6x+1}$ là không khả thi, do đó hướng tiếp cận tìm công thức tường minh cho $a_n$ có thể loại bỏ. Ta thấy $f(x)$ có dạng nghiệm của một phương trình bậc hai. Bằng cách tính ngược từ công thức nghiệm $$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ ta dễ dàng tìm được phương trình đó là $$xf^2(x)+(x-1)f(x)+1=0.$$ Bây giờ thay công thức hàm sinh vào, ta được $$x\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)^2+(x-1)\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)^2+1=0.$$ Tính hệ số của $x_{n+1}$ ở vế trái, ta được $$\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_ia_{n-i}+a_n-a_{n+1}=0.$$ Từ đây ta có $$a_{n+1}=a_n+\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_ia_{n-i}.$$ Hiển nhiên là từ công thức này, ta suy ra $a_n$ nguyên với mọi $n$.