Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Thứ Sáu, 25 tháng 9, 2020

[T10/503 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 5 năm 2019] Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (n;k) sao cho (n+1)(n+2)\ldots(n+k)-k là số chính phương.


Lời giải


Xét các trường hợp sau: [1)]
  • Với k\ge 5, đặt k=a+4 với a\in\mathbb{N}, a\ge 1.
    Giả sử tồn tại b\in\mathbb{Z} sao cho (n+1)(n+2)\ldots(n+k)-k=b^2\Leftrightarrow (n+1)(n+2)\ldots\ldots(n+a+4)-a=b^2+4.\tag{1} Nhận thấy (n+1)\ldots(n+a) là tích của a số nguyên liên tiếp nên a\mid (n+1)\ldots(n+a), (n+a+1)\ldots(n+a+4) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên \mid (n+a+1)\ldots(n+a+4).
    Suy ra 4a\mid (n+1)\ldots(n+a+4).(2)
    Từ (1)(2) suy ra tồn tại c\in\mathbb{N} sao cho 4ac-a=b^2+4\Leftrightarrow a(4c-1)=b^2+4.
    4c-1\equiv 3\pmod4 nên 4c-1 có ước nguyên tố p có dạng p=4t+3, với t\in\mathbb{N}, p\ge 3.
    Do đó p\mid b^2+4=b^2+2^2. Vì p\equiv 3\pmod 4 suy ra p\mid 2, vô lý.
  • Với k=4, khi đó ta có \begin{eqnarray*} (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-4 &=& (n^2+5n+4)(n^2+5n+6)-4\\ &=& (d+4)(d+6)-4\\ &=& d^2+10d+20 \qquad(\text{ở đây }d=n^2+5n). \end{eqnarray*}(d+4)^2 < d^2+10d+20 < (d+5)^2 nên d^2+10d+20 không là số chính phương.
  • Với k=3, giả sử (n+1)(n+2)(n+3)-3=m^2 với m\in\mathbb{Z}.
    Do vế trái lẻ nên m lẻ, đặt m=2b+1. Suy ra (n+1)(n+2)(n+3)=4(b^2+b+1).
    Ta sẽ chứng minh khi đó tồn tại số nguyên tố lẻ q có dạng q=3u+2 là ước của (n+1)(n+2)(n+3).
    Thật vậy, xét modulo 8, để (n+1)(n+2)(n+3)-3 là số chính phương thì n\equiv 2\pmod 8.
    Trong 3 số nguyên dương liên tiếp có đúng một số chia cho 32, số đó sẽ có các ước nguyên tố dạng 3t+2. Nếu ước nguyên tố dạng 3t+2 của số đó chỉ bằng 2 thì số mũ của 2 trong khai triển thành thừa số nguyên tố của số đó phải lẻ, vô lý do số đó khi chia 8 chỉ có thể dư 3 hoặc 4 hoặc 5.
    Ta có \begin{eqnarray*} && q\mid (n+1)(n+2)(n+3)\\ &\Rightarrow& q\mid 4(b^2+b+1)\Rightarrow q\mid b^2+b+1\Rightarrow q\mid b^3-1\\ &\Rightarrow& b^3\equiv 1\pmod q\Rightarrow b^{3u}\equiv 1\pmod q\Rightarrow b^{q-1}\equiv b\pmod q. \end{eqnarray*} Lại có \text{ƯCLN}(b;q)=1 nên theo định lý Fermat nhỏ thì b^{q-1}\equiv 1\pmod q.
    Suy ra b\equiv 1\pmod q\Rightarrow b^2+b+1\equiv 3\pmod q\Rightarrow q=3, vô lý.
  • Với k=2, giả sử (n+1)(n+2)-2=s^2 với s\in\mathbb{N}. Suy ra (n+1)(n+2)=s^2+2\Leftrightarrow (2n+3)^2=4s^2+9\Leftrightarrow (2n+3-2s)(2n+3+2s)=9.2n+3+2s > 3 nên suy ra \left\{ \begin{array}{l}&2n+3-2s=1 \\ &2n+3+2s=9\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}&n=1 \\ &s=2.\end{array} \right.
    Vậy (k;n)=(2;1) thỏa mãn.
  • Với k=1, khi đó (n+1)-1=n, lúc này n phải là số chính phương.
  • Vậy (n;k)=(1;2) hoặc (n;k)=(a^2;1) với a là số nguyên.

    Bài viết cùng chủ đề:

    0 nhận xét:

    Đăng nhận xét