Loading web-font TeX/Math/Italic

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Chủ Nhật, 27 tháng 9, 2020

[tc1][T1/504 Toán học & tuổi trẻ số 504, tháng 6 năm 2019] Tìm số tự nhiên n biết rằng n^5+n+1 chỉ có một ước nguyên tố duy nhất.


Lời giải


Biến đổi như sau: \begin{align*} n^5+n+1&=n^3\left(n^2+n+1\right)-n^2\left(n^2+n+1\right)+n^2+n+1\\&=\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n^2+1\right) \end{align*}
Từ giả thiết n^5+n+1 chỉ có một ước nguyên tố duy nhất là p, ta viết được: n^5+n+1=p^s=\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n^2+1\right)
với số nguyên dương s.
Xảy ra ba trường hợp sau.
[1)]
  • Nếu n^2+n+1=1n^3-n^2+1=p^s, lúc đó n=0p=1, không thỏa mãn.
  • Nếu n^2+n+1=p^sn^3-n^2+1=1, lúc đó n > 0n^2(n-1)=0 nên n=1n^5+n+1=3; p=3, s=1: thỏa mãn.
  • Nếu n^2+n+1=p^rn^3-n^2+1=p^v với r+v=sr\geq 1v\geq 1.
    Với n=2 thì n^2+n+1=7n^3-n^2+1=5, không thỏa mãn.
    Với n\geq 3 thì n(n-2) > 1 nên n^2(n-2) > n, suy ra n^3-n^2+1 > n^2+n+1, do đó v > r.
    Ta biến đổi như sau: \begin{align*} p^v&=n^3-n^2+1\\&=n\left(n^2+n+1\right)-2\left(n^2+n+1\right)+n+3\\&=np^r-2p^r+n+3 \end{align*}
    hay là p^rp^{v-r}=p^r(n-2)+n+3 suy ra n+3 chia hết cho p^r=n^2+n+1; do đó
    n+3\geq n^2+n+1, tức là n^2\leq 2. Điều này không xảy ra vì n\geq 3.
  • Bài toán có một nghiệm ứng với n=1n^5+n+1=3.

    Bài viết cùng chủ đề:

    0 nhận xét:

    Đăng nhận xét