[tc1][T1/504 Toán học & tuổi trẻ số 504, tháng 6 năm 2019] Tìm số tự nhiên $n$ biết rằng $n^5+n+1$ chỉ có một ước nguyên tố duy nhất.

Lời giải

Biến đổi như sau: $$\begin{align*} n^5+n+1&=n^3\left(n^2+n+1\right)-n^2\left(n^2+n+1\right)+n^2+n+1\\&=\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n^2+1\right) \end{align*}$$ Từ giả thiết $n^5+n+1$ chỉ có một ước nguyên tố duy nhất là $p$, ta viết được: $$n^5+n+1=p^s=\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n^2+1\right)$$ với số nguyên dương $s$.
Xảy ra ba trường hợp sau.
[1)]

Nếu $n^2+n+1=1$ và $n^3-n^2+1=p^s$, lúc đó $n=0$ và $p=1$, không thỏa mãn.

Nếu $n^2+n+1=p^s$ và $n^3-n^2+1=1$, lúc đó $n > 0$ và $n^2(n-1)=0$ nên $n=1$ và $n^5+n+1=3$; $p=3, s=1$: thỏa mãn.

Nếu $n^2+n+1=p^r$ và $n^3-n^2+1=p^v$ với $r+v=s$ mà $r\geq 1$ và $v\geq 1$.
Với $n=2$ thì $n^2+n+1=7$ và $n^3-n^2+1=5$, không thỏa mãn.
Với $n\geq 3$ thì $n(n-2) > 1$ nên $n^2(n-2) > n$, suy ra $n^3-n^2+1 > n^2+n+1$, do đó $v > r$.
Ta biến đổi như sau: $$\begin{align*} p^v&=n^3-n^2+1\\&=n\left(n^2+n+1\right)-2\left(n^2+n+1\right)+n+3\\&=np^r-2p^r+n+3 \end{align*}$$ hay là $p^rp^{v-r}=p^r(n-2)+n+3$ suy ra $n+3$ chia hết cho $p^r=n^2+n+1$; do đó
$n+3\geq n^2+n+1$, tức là $n^2\leq 2$. Điều này không xảy ra vì $n\geq 3$.

Bài toán có một nghiệm ứng với $n=1$ và $n^5+n+1=3$.