Lời giải
Biến đổi như sau: \begin{align*} n^5+n+1&=n^3\left(n^2+n+1\right)-n^2\left(n^2+n+1\right)+n^2+n+1\\&=\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n^2+1\right) \end{align*}
Từ giả thiết n^5+n+1 chỉ có một ước nguyên tố duy nhất là p, ta viết được: n^5+n+1=p^s=\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n^2+1\right)
với số nguyên dương s.
Xảy ra ba trường hợp sau.
[1)]
Với n=2 thì n^2+n+1=7 và n^3-n^2+1=5, không thỏa mãn.
Với n\geq 3 thì n(n-2) > 1 nên n^2(n-2) > n, suy ra n^3-n^2+1 > n^2+n+1, do đó v > r.
Ta biến đổi như sau: \begin{align*} p^v&=n^3-n^2+1\\&=n\left(n^2+n+1\right)-2\left(n^2+n+1\right)+n+3\\&=np^r-2p^r+n+3 \end{align*}
hay là p^rp^{v-r}=p^r(n-2)+n+3 suy ra n+3 chia hết cho p^r=n^2+n+1; do đó
n+3\geq n^2+n+1, tức là n^2\leq 2. Điều này không xảy ra vì n\geq 3.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét