[tc2][T2/504 Toán học & tuổi trẻ số 504, tháng 6 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Gọi $M,N,I$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB, AC$ và $NC$; $K$ là hình chiếu của $N$ trên cạnh $BC$. Chứng minh ba đường thẳng $AK, BI$ và $CM$ đồng quy tại một điểm.

Lời giải

Gọi $E, H$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $N$ trên đường thẳng $CM$. Qua $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt tia $NH$ tại $D$. Gọi $F$ là trung điểm của $CD$, $BF$ cắt $ND$ tại $G$.
Các tam giác vuông $NHC, NKC$ có $HI, KI$ là các trung tuyến thuộc cạnh huyền nên các tam giác $NHI, HIK$ và $IKC$ cân tại $I$ nên ta có:

$$\begin{align*} 2\widehat{IHN}+2\widehat{IHK}+ 2\widehat{ICK}=\widehat{HNC}+\widehat{NHC}+\widehat{HCN}+\widehat{KHC}+\widehat{HKC}+\widehat{HCK}=360^\circ.\\ \Rightarrow 2\widehat{NHK}+ 2\widehat{ICK}=360^\circ\Rightarrow \widehat{NHK}=180^\circ-\widehat{ICK}= 135^\circ.\tag{1} \end{align*}$$ Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có: $EH= HC$. Mà $HC= AE$ $\left( \Delta AME=\Delta CNH\right)$ nên $EH= EA$. Do đó, $\Delta EAH$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat{EAH}=\widehat{EHA}=45^\circ$ hay $\widehat{AHN}=45^\circ. \hfill (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\widehat{NHK}+\widehat{AHN}=180^\circ\Rightarrow A, H, K$ là thẳng hàng. (3)
Ta lại có: $$\begin{align*} \Delta AMC=\Delta CND (g.c.g)&\Rightarrow DC=AC\Rightarrow CF= BM (=AM)\\&\Rightarrow\Delta MBC=\Delta FCB (c.g.c)\\&\Rightarrow \widehat{CBF}=\widehat{BCM}\Rightarrow BF//CM.\end{align*}$$ Mà $CM\perp ND\Rightarrow BF\perp ND$.
Xét $\Delta DHC$ có $F$ là trung điểm của $CD$, $FG//CH$ suy ra $G$ là trung điểm của $HD$.
Do đó, $\Delta BDH$ cân tại $B\Rightarrow BH= BD$.
Mặt khác: $$\Delta ABC=\Delta DCB (c.g.c)\Rightarrow BD= AC\Rightarrow BD=DC=AC= AB\Rightarrow AB=BH$$ Nên $\Delta ABH$ cân tại $B$, suy ra $\widehat{BHA}=\widehat{BAH}$.
Mà $\widehat{EAH}=\widehat{EHA}=45^\circ\Rightarrow \widehat{BHM}=\widehat{MAE}=\widehat{HCN}$.
Ta có: $$\widehat{BHN}+\widehat{NHI}=\widehat{BHM}+ 90^\circ+\widehat{NHI} =90^\circ+\widehat{HCN}+\widehat{HNC}=180^\circ$$ $\Rightarrow B,H,I$ thẳng hàng .(4)
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra ba đường thẳng $AK, BI$ và $CM$ đồng quy tại $H$.