Loading web-font TeX/Math/Italic

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Thứ Sáu, 25 tháng 9, 2020

[T8/503 Toán học & tuổi trẻ số 503, tháng 5 năm 2019]%[Nguyễn Tâm Phục] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , các đường trung tuyến AA_1 , BB_1 , CC_1 lần lượt cắt (O) tại A_2 , B_2 , C_2 . Đặt AB=c , BC=a , CA=b . Chứng minh rằng \dfrac{A_1A_2}{a}+\dfrac{B_1B_2}{b}+\dfrac{C_1C_2}{c}\geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}.


Lời giải


Từ công thức đường trung tuyến AA_1 = \dfrac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}
AA_1 \cdot A_1A_2 =BA_1 \cdot A_1 C =\dfrac{a^2}{4},
suy ra A_1A_2 =\dfrac{a^2}{2\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}.
Tương tự ta có B_1B_2 =\dfrac{b^2}{2\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}}, C_1C_2 = \dfrac{c^2}{2\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}}.
Sử dụng bất đẳng thức xy \leq \dfrac{x^2 +y^2}{2} , ta thấy \dfrac{A_1A_2}{a} = \dfrac{a^2}{2a\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{a^2}{a\sqrt{3}\cdot\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}.
Tương tự \dfrac{B_1B_2}{b} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}; \dfrac{C_1C_2}{c} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}.
Do đó \dfrac{A_1A_2}{a}+\dfrac{B_1B_2}{b}+\dfrac{C_1C_2}{c} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \triangle ABC đều.

Bài viết cùng chủ đề:

0 nhận xét:

Đăng nhận xét