Lời giải
Từ công thức đường trung tuyến AA_1 = \dfrac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}
và AA_1 \cdot A_1A_2 =BA_1 \cdot A_1 C =\dfrac{a^2}{4},
suy ra A_1A_2 =\dfrac{a^2}{2\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}.
Tương tự ta có
B_1B_2 =\dfrac{b^2}{2\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}}, C_1C_2 = \dfrac{c^2}{2\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}}.
Sử dụng bất đẳng thức xy \leq \dfrac{x^2 +y^2}{2} , ta thấy
\dfrac{A_1A_2}{a} = \dfrac{a^2}{2a\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{a^2}{a\sqrt{3}\cdot\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}.
Tương tự \dfrac{B_1B_2}{b} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2};
\dfrac{C_1C_2}{c} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}.
Do đó \dfrac{A_1A_2}{a}+\dfrac{B_1B_2}{b}+\dfrac{C_1C_2}{c} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \triangle ABC đều.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét