[T7/503 Toán học & tuổi trẻ số 503, tháng 5 năm 2019]%[Nguyễn Tâm Phục] Cho tam giác $ABC$, hãy chứng minh $$\tan \dfrac{A}{4}+ \tan \dfrac{B}{4} + \tan \dfrac{C}{4}+\tan \dfrac{A}{4}\tan \dfrac{B}{4}+\tan \dfrac{B}{4}\tan \dfrac{C}{4}+\tan \dfrac{C}{4}\tan \dfrac{A}{4} \leq 3(9-5\sqrt{3}).$$ Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải

Với mọi tam giác $ABC$ ta luôn có $$\begin{align*} & \tan \dfrac{A+B}{4} =\tan \dfrac{\pi-C}{4} \\ \Leftrightarrow & \dfrac{\tan \dfrac{A}{4}+\tan \dfrac{B}{4}}{1-\tan \dfrac{A}{4}\tan \dfrac{B}{4}} = \dfrac{\tan \dfrac{\pi}{4}-\tan \dfrac{C}{4}}{1+\tan \dfrac{\pi}{4}\tan \dfrac{C}{4}} \\ \Leftrightarrow & \dfrac{\tan \dfrac{A}{4}+\tan \dfrac{B}{4}}{1-\tan \dfrac{A}{4}\tan \dfrac{B}{4}}=\dfrac{1-\tan \dfrac{C}{4}}{1+\tan \dfrac{C}{4}} \\ \Leftrightarrow & \tan \dfrac{A}{4}+\tan \dfrac{B}{4} + \tan \dfrac{A}{4}\tan \dfrac{C}{4}+\tan \dfrac{B}{4}\tan \dfrac{C}{4}=1 - \tan \dfrac{C}{4} - \tan \dfrac{A}{4}\tan \dfrac{B}{4} + \tan \dfrac{A}{4} \tan \dfrac{B}{4} \tan \dfrac{C}{4} \\ \Leftrightarrow & \tan \dfrac{A}{4} + \tan \dfrac{B}{4} + \tan \dfrac{C}{4} + \tan \dfrac{A}{4} \tan \dfrac{B}{4} + \tan \dfrac{B}{4} \tan \dfrac{C}{4} + \tan \dfrac{C}{4} \tan \dfrac{A}{4} = 1 + \tan \dfrac{A}{4}\tan \dfrac{B}{4} \tan \dfrac{C}{4}. \tag{1} \end{align*}$$ Vì $0 < A$, $B,$ $C < \pi$ nên $0 < \dfrac{A}{4}$, $\dfrac{B}{4}$, $\dfrac{C}{4} < \dfrac{\pi}{4}$, suy ra $$0 < \tan \dfrac{A}{4} \text{, } \tan \dfrac{B}{4} \text{, } \tan \dfrac{C}{4} < 1.$$ Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $$\tan \dfrac{A}{4} + \tan \dfrac{B}{4} + \tan \dfrac{C}{4} \geq 3\sqrt[3]{\tan \dfrac{A}{4} \tan \dfrac{B}{4} \tan \dfrac{C}{4}}, \tag{2}$$ $$\tan \dfrac{A}{4} \tan \dfrac{B}{4} + \tan \dfrac{B}{4} \tan \dfrac{C}{4} + \tan \dfrac{C}{4}\tan \dfrac{A}{4} \geq 3\sqrt[3]{\tan^2 \dfrac{A}{4} \tan ^2 \dfrac{B}{4} \tan ^2 \dfrac{C}{4}}. \tag{3}$$ Cộng từng vế (2) và (3) ta được $$\tan \dfrac{A}{4} + \tan \dfrac{B}{4} + \tan \dfrac{C}{4} + \tan \dfrac{A}{4}\tan \dfrac{B}{4} + \tan \dfrac{B}{4}\tan \dfrac{C}{4} + \tan \dfrac{C}{4}\tan \dfrac{A}{4} \geq 3x+3x^2 \tag{4}$$ $\left (\text{ở đây } x=\sqrt[3]{\tan \dfrac{A}{4}\tan \dfrac{B}{4}\tan \dfrac{C}{4}}~ \right )$. Thay vế trái của (4) bằng vế phải của (1) ta được $$1+x^3 \geq 3x +3x^2 \Leftrightarrow (x+1)(x^2-4x+1) \geq 0. \tag{5}$$ Do $0 < \tan \dfrac{A}{4} \tan \dfrac{B}{4} \tan \dfrac{C}{4} < 1 \Rightarrow 0 < x < 1 \Rightarrow x+1 > 0$ .
Vậy $$\begin{eqnarray*} (5) & \Leftrightarrow & x^2-4x+1 \geq 0 \\ & \Leftrightarrow & x \leq 2 - \sqrt{3} \\ & \text{hay } & \sqrt[3]{\tan \dfrac{A}{4}\tan \dfrac{B}{4}\tan \dfrac{C}{4}} \leq 2 - \sqrt{3} \\ & \Leftrightarrow & \tan \dfrac{A}{4} \tan \dfrac{B}{4} \tan \dfrac{C}{4} \leq (2-\sqrt{3})^3 = 26-15\sqrt{3}\\ & \Leftrightarrow & 1+ \tan \dfrac{A}{4} \tan \dfrac{B}{4}\tan \dfrac{C}{4} \leq 27 -15 \sqrt{3} =3 (9-5\sqrt{3}). \end{eqnarray*}$$ }Dấu = ==~ xảy ra khi và chỉ khi dấu ===~ ở (2), (3) và (5) xảy ra khi và chỉ khi $$\tan \dfrac{A}{4}=\tan \dfrac{B}{4}=\tan \dfrac{C}{4} \text{ khi và chỉ khi } \triangle ABC \text{ đều}.$$