[T6/503 Toán học & tuổi trẻ số 503, tháng 5 năm 2019]%[Nguyễn Tâm Phục] Giải hệ phương trình \[ \left\{ \begin{array}{l}&\sqrt{x^2+xy+y^2} + \sqrt{y^2+yz+z^2} +\sqrt{z^2+zx+x^2}=\sqrt{3}(x+y+z)\\&\sqrt{xyz}-(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+2=0.\end{array} \right. \]

Lời giải

Điều kiện: $ x \geq 0 $, $ y\geq 0 $, $ z \geq 0 $.
Ta có \[ x^2 +xy+y^2 = \dfrac{3}{4}(x+y)^2 + \dfrac{1}{4}(x-y)^2 \geq \dfrac{3}{4}(x+y)^2 \] (do $ \dfrac{1}{4}(x-y)^2 \geq 0 $ với mọi $ x$, $y \in \mathbb{R} $). Suy ra \[ \sqrt{x^2+xy+y^2} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}(x+y) \tag{1}, \] đẳng thức xảy ra khi $ x=y $.
Tương tự, ta có \[ \sqrt{y^2+yz+z^2} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}(y+z) \tag{2}, \] đẳng thức xảy ra khi $ y=z $; \[ \sqrt{z^2+zx+x^2} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}(z+x) \tag{3}, \] đẳng thức xảy ra khi $ z=x $.
Cộng theo vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được bất đẳng thức \[ \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2} \geq \sqrt{3}(x+y+z) \tag{4}. \] Dấu = = =~ở bất đẳng thức (4) xảy ra nếu dấu = = =~ ở các bất đẳng thức (1), (2), (3) cùng xảy ra, tức là $ x=y=z $.
Thay $ x=y=z $ vào phương trình \[ \sqrt{xyz}-(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+2=0 \] ta được \begin{eqnarray*} & & \sqrt{x^3}-3\sqrt{x}+2 =0 \\ & \Leftrightarrow & (\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)^2 =0 \\ & \Leftrightarrow & (\sqrt{x}-1)^2=0 \text{ (do } \sqrt{x}+2 \geq 0 \text { với } x \geq 0)\\ & \Leftrightarrow & x=1. \end{eqnarray*}}Từ đó suy ra $ x=y=z=1 $ (thoả mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ (x;y;z)=(1;1;1) $.