[T5/503 Toán học & tuổi trẻ số 503, tháng 5 năm 2019] %[Nguyễn Tâm Phục] Cho $ a $, $ b $, $ c $ là ba số thực thỏa mãn điều kiện \[ (1+a^2)(4+b^2)(9+c^2) \leq 100.\] Chứng minh rằng \[ -4 \leq 3ab +2ac +bc \leq 16. \]

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \[ -10 \leq 3ab + 2ac + bc -6 \leq 10, \] tức là cần chứng minh \[ |3ab + 2ac + bc-6| \leq 10. \] Thật vậy, theo bất bất đẳng thức Bunyakovsky \begin{eqnarray*} &|3ab +2ac + bc -6| &= |3(ab-2)+c(2a+b)| \\ &&\leq \sqrt{(9+c^2)\left [ (ab-2)^2+(2a+b)^2\right ]} \\ & &= \sqrt{(9+c^2)(a^2b^2+4a^2+b^2+4)} \\ &&= \sqrt{(9+c^2)(1+a^2)(4+b^2)} \leq 10. \end{eqnarray*}}Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bình luận của đọc giả: Cũng có bạn chứng minh \[ (3ab+2ac+bc-6)^2 \leq (9+c^2)(1+a^2)(4+b^2) \] bằng cách khai triển và đưa về \[ 0 \leq (abc -6a -3b -2c)^2. \] Có thể đặt câu hỏi sâu hơn là khi nào bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Một số bạn nhận xét là bất đẳng thức \[ -4 \leq 3ab +2ac +bc \leq 16 \] có thể đạt dấu bằng bên trái (khi $ a=-1 $, $ b=c=1 $ chẳng hạn) nhưng không bao giờ đạt được dấu bằng bên phải.