[T5/503 Toán học & tuổi trẻ số 503, tháng 5 năm 2019] %[Nguyễn Tâm Phục] Cho $a$, $b$, $c$ là ba số thực thỏa mãn điều kiện $$(1+a^2)(4+b^2)(9+c^2) \leq 100.$$ Chứng minh rằng $$-4 \leq 3ab +2ac +bc \leq 16.$$

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$-10 \leq 3ab + 2ac + bc -6 \leq 10,$$ tức là cần chứng minh $$|3ab + 2ac + bc-6| \leq 10.$$ Thật vậy, theo bất bất đẳng thức Bunyakovsky $$\begin{eqnarray*} &|3ab +2ac + bc -6| &= |3(ab-2)+c(2a+b)| \\ &&\leq \sqrt{(9+c^2)\left [ (ab-2)^2+(2a+b)^2\right ]} \\ & &= \sqrt{(9+c^2)(a^2b^2+4a^2+b^2+4)} \\ &&= \sqrt{(9+c^2)(1+a^2)(4+b^2)} \leq 10. \end{eqnarray*}$$ }Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bình luận của đọc giả: Cũng có bạn chứng minh $$(3ab+2ac+bc-6)^2 \leq (9+c^2)(1+a^2)(4+b^2)$$ bằng cách khai triển và đưa về $$0 \leq (abc -6a -3b -2c)^2.$$ Có thể đặt câu hỏi sâu hơn là khi nào bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Một số bạn nhận xét là bất đẳng thức $$-4 \leq 3ab +2ac +bc \leq 16$$ có thể đạt dấu bằng bên trái (khi $a=-1$, $b=c=1$ chẳng hạn) nhưng không bao giờ đạt được dấu bằng bên phải.